Exercices corrigés — Développements limités

DL usuel : $e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

Le coefficient de $x^k$ est $\dfrac1{k!}$.

S'arrêter à l'ordre $3$ : le reste est $o(x^3)$.

$e^x=\displaystyle\sum_{k=0}^{3}\frac{x^k}{k!}+o(x^3)$.

$=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

DL usuel : $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}-\dots$

Le coefficient de $x^k$ ($k\ge1$) est $\dfrac{(-1)^{k-1}}{k}$.

Pas de terme constant : $\ln(1+0)=0$.

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$.

Signes alternés, pas de terme constant.

$\sqrt{1+x}=(1+x)^{1/2}$, donc $\alpha=\dfrac12$.

Coefficient de $x$ : $\alpha=\dfrac12$.

Coefficient de $x^2$ : $\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}=\dfrac{\tfrac12\cdot(-\tfrac12)}{2}$.

$\alpha=\dfrac12$.

$\alpha x=\dfrac{x}{2}$.

$\dfrac{\alpha(\alpha-1)}{2}=\dfrac{-\tfrac14}{2}=-\dfrac18$.

Série géométrique : $\dfrac{1}{1-q}=1+q+q^2+\dots$

Ici $q=-x$.

Les signes alternent.

$\dfrac{1}{1+x}=\dfrac{1}{1-(-x)}=1+(-x)+(-x)^2+(-x)^3+o(x^3)$.

$=1-x+x^2-x^3+o(x^3)$.

Pose $u=2x$ (qui tend vers $0$).

$e^u=1+u+\dfrac{u^2}{2}+\dfrac{u^3}{6}+o(u^3)$.

Remplace $u=2x$ et simplifie les puissances de $2$.

$e^{2x}=1+2x+\dfrac{(2x)^2}{2}+\dfrac{(2x)^3}{6}+o(x^3)$.

$=1+2x+2x^2+\dfrac{8x^3}{6}+o(x^3)$.

$=1+2x+2x^2+\dfrac{4x^3}{3}+o(x^3)$.

Pose $u=3x$.

$\ln(1+u)=u-\dfrac{u^2}{2}+o(u^2)$.

Remplace $u=3x$.

$\ln(1+3x)=3x-\dfrac{(3x)^2}{2}+o(x^2)$.

$=3x-\dfrac{9x^2}{2}+o(x^2)$.

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$ et $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^3)$.

Développe le produit, en ne gardant que les termes de degré $\le3$.

Regroupe par puissance de $x$.

$e^x=1+x+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}$, $\ \cos x=1-\tfrac{x^2}{2}$ (à $o(x^3)$ près).

$1-\tfrac{x^2}{2}+x-\tfrac{x^3}{2}+\tfrac{x^2}{2}+\tfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

$1+x+\big(-\tfrac12+\tfrac12\big)x^2+\big(-\tfrac12+\tfrac16\big)x^3+o(x^3)$.

$=1+x-\dfrac{x^3}{3}+o(x^3)$.

$\dfrac{1}{1+x}=1-x+x^2+o(x^2)$.

Multiplie le DL de $e^x$ par celui de $\dfrac{1}{1+x}$.

Tronque à l'ordre $2$.

$\dfrac{e^x}{1+x}=\Big(1+x+\tfrac{x^2}{2}\Big)\Big(1-x+x^2\Big)+o(x^2)$.

$1-x+x^2+x-x^2+\tfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$1+0\cdot x+\big(1-1+\tfrac12\big)x^2+o(x^2)$.

$=1+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Forme indéterminée $\tfrac00$.

DL : $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Donc $1-\cos x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$1-\cos x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$\dfrac{1-\cos x}{x^2}=\dfrac12+\dfrac{o(x^2)}{x^2}$.

$\dfrac{o(x^2)}{x^2}\to0$, donc la limite est $\dfrac12$.

Forme indéterminée $\tfrac00$ (le terme $x$ se simplifie).

DL : $\sin x=x-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

Donc $\sin x-x=-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

$\sin x-x=-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

$\dfrac{\sin x-x}{x^3}=-\dfrac16+\dfrac{o(x^3)}{x^3}$.

La limite est $-\dfrac16$.

Forme indéterminée $\tfrac00$.

DL : $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Le terme $x$ se simplifie.

$\ln(1+x)-x=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$\dfrac{\ln(1+x)-x}{x^2}=-\dfrac12+\dfrac{o(x^2)}{x^2}$.

La limite est $-\dfrac12$.

Forme indéterminée $\tfrac00$.

$e^x=1+x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\cos x=1-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Soustrais : les termes constants s'annulent.

$e^x-\cos x=\big(1+x+\tfrac{x^2}{2}\big)-\big(1-\tfrac{x^2}{2}\big)+o(x^2)$.

$=x+x^2+o(x^2)$.

$\dfrac{e^x-\cos x}{x}=1+x+o(x)\to1$.

Pose $u=-x$ dans le DL de $e^u$.

Les signes alternent.

Pour la valeur approchée, remplace $x=0{,}1$ dans la partie régulière.

$e^{-x}=1-x+\dfrac{x^2}{2}-\dfrac{x^3}{6}+o(x^3)$.

$1-0{,}1+\dfrac{0{,}01}{2}-\dfrac{0{,}001}{6}\approx0{,}90483$.

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Multiplie par $(1+x)$ et tronque à l'ordre $2$.

Regroupe les termes.

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$(1+x)\big(x-\tfrac{x^2}{2}\big)=x-\dfrac{x^2}{2}+x^2+o(x^2)$.

$=x+\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Forme indéterminée $\tfrac00$.

$1-\cos x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$ et $\sin x=x+o(x)$.

Donc $x\sin x=x^2+o(x^2)$.

$1-\cos x=\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$x\sin x=x\big(x+o(x)\big)=x^2+o(x^2)$.

$\dfrac{1-\cos x}{x\sin x}=\dfrac{\tfrac{x^2}{2}+o(x^2)}{x^2+o(x^2)}\to\dfrac12$.

DL à l'ordre $2$ : $\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Les deux premiers termes donnent la tangente.

Le coefficient de $x^2$ donne la position.

$\ln(1+x)=x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

$T:\ y=x$.

$f(x)-x=-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)\le0$ : courbe en dessous de $T$.

$(1+u)^{1/2}=1+\dfrac u2-\dfrac{u^2}{8}+o(u^2)$ avec $u=2x$.

Calcule $u^2=4x^2$.

Simplifie.

$\sqrt{1+2x}=1+\dfrac{2x}{2}-\dfrac{(2x)^2}{8}+o(x^2)$.

$=1+x-\dfrac{4x^2}{8}+o(x^2)=1+x-\dfrac{x^2}{2}+o(x^2)$.

Forme indéterminée $\tfrac00$.

$e^{2x}-1=2x+o(x)$ et $\ln(1+x)=x+o(x)$.

Compare les termes dominants.

$e^{2x}-1=2x+o(x)$.

$\ln(1+x)=x+o(x)$.

$\dfrac{e^{2x}-1}{\ln(1+x)}=\dfrac{2x+o(x)}{x+o(x)}\to2$.