Exercices corrigés — Diagonalisation

Les valeurs propres annulent $\det(A-\lambda I)$.

En 2×2 : $\chi_A(\lambda)=\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A$.

Factorise le trinôme.

$\operatorname{tr}A=7$, $\det A=4\cdot3-1\cdot2=10$.

$\chi_A(\lambda)=\lambda^2-7\lambda+10$.

$\lambda^2-7\lambda+10=(\lambda-2)(\lambda-5)$.

Calcule $S=\operatorname{tr}A$ et $P=\det A$.

Les valeurs propres sont racines de $\lambda^2-S\lambda+P$.

Factorise.

$S=7+4=11$ ; $P=7\cdot4-(-2)(-2)=28-4=24$.

$\lambda^2-11\lambda+24=(\lambda-3)(\lambda-8)$.

$\lambda_1=3$, $\lambda_2=8$.

Pour chaque $\lambda$, résous $(A-\lambda I)v=0$.

Le système est de rang 1 : une équation suffit.

Choisis un représentant non nul.

$(A-5I)=\begin{pmatrix}-1&1\\2&-2\end{pmatrix}$ : $-x+y=0\Rightarrow y=x$. Vecteur $\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

$(A-2I)=\begin{pmatrix}2&1\\2&1\end{pmatrix}$ : $2x+y=0\Rightarrow y=-2x$. Vecteur $\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$.

Que vaut $\det(A-\lambda I)$ pour une matrice triangulaire ?

Le déterminant d'une triangulaire est le produit de la diagonale.

Les valeurs propres se lisent directement.

$\det(A-\lambda I)=\det\begin{pmatrix}2-\lambda&5\\0&-3-\lambda\end{pmatrix}=(2-\lambda)(-3-\lambda)$.

Valeurs propres = coefficients diagonaux.

$0$ valeur propre $\iff \det A=0$.

Le vecteur propre pour $0$ est dans $\ker A$ : résous $Av=0$.

$\det A=0$ signifie quoi pour l'inversibilité ?

$\det A=2\cdot2-4\cdot1=0$ : donc $0$ est valeur propre.

$Av=0$ : $2x+4y=0\Rightarrow x=-2y$. Vecteur $\begin{pmatrix}2\\-1\end{pmatrix}$.

$\det A=0\Rightarrow A$ non inversible.

Calcule $Au$ et $Aw$.

Un vecteur $v$ est propre si $Av=\lambda v$ pour un scalaire $\lambda$.

Lis le facteur $\lambda$.

$Au=\begin{pmatrix}4\\4\end{pmatrix}=4u$ : propre, $\lambda=4$.

$Aw=\begin{pmatrix}2\\-2\end{pmatrix}=2w$ : propre, $\lambda=2$.

Reprends valeurs propres ($2,5$) et vecteurs propres.

$P$ = vecteurs propres en colonnes ; $D$ = valeurs propres dans le même ordre.

Contrôle par $AP=PD$.

$\lambda=2\to\begin{pmatrix}1\\-2\end{pmatrix}$ ; $\lambda=5\to\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

$P=\begin{pmatrix}1&1\\-2&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&5\end{pmatrix}$.

$AP=\begin{pmatrix}2&5\\-4&5\end{pmatrix}=PD$ (colonnes $2v_1$ et $5v_2$).

Valeurs propres via $\chi_A$, puis vecteurs propres.

$A^n=PD^nP^{-1}$ avec $D^n=\operatorname{diag}(\lambda_1^n,\lambda_2^n)$.

N'oublie pas $P^{-1}$.

$\chi_A=\lambda^2-3\lambda+2=(\lambda-1)(\lambda-2)$ : $\lambda=1,2$.

$\lambda=1\to\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$, $\lambda=2\to\begin{pmatrix}2\\1\end{pmatrix}$ : $P=\begin{pmatrix}1&2\\1&1\end{pmatrix}$, $P^{-1}=\begin{pmatrix}-1&2\\1&-1\end{pmatrix}$.

$A^n=P\begin{pmatrix}1&0\\0&2^n\end{pmatrix}P^{-1}=\begin{pmatrix}2^{n+1}-1&2-2^{n+1}\\2^n-1&2-2^n\end{pmatrix}$.

$A$ est symétrique : diagonalisable (théorème spectral).

Trouve valeurs et vecteurs propres.

Deux vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul.

$\chi_A=\lambda^2-6\lambda+8=(\lambda-2)(\lambda-4)$ : $\lambda=2,4$.

$\lambda=2\to\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$ ; $\lambda=4\to\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}=1-1=0$ : orthogonaux. $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}2&0\\0&4\end{pmatrix}$.

Calcule le polynôme caractéristique.

Une valeur propre double : compare $\dim E_\lambda$ et la multiplicité.

Résous $(A-\lambda I)v=0$.

$\chi_A=(\lambda-2)^2$ : $\lambda=2$ double ($m_a=2$).

$(A-2I)=\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ : $y=0$, $E_2=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\0\end{pmatrix}$, dimension $1$.

$m_g=1<m_a=2$ : pas assez de vecteurs propres.

Quel critère suffit en dimension 2 ?

Calcule les valeurs propres.

Sont-elles distinctes ?

$\chi_A=\lambda^2-4\lambda-5=(\lambda-5)(\lambda+1)$ : $\lambda=5$ et $\lambda=-1$.

Deux valeurs propres distinctes en dimension 2.

Calcule d'abord $P^{-1}$ (inverse 2×2).

Puis effectue $PD$, enfin $(PD)P^{-1}$.

Contrôle : les colonnes de $P$ doivent être propres pour $A$.

$\det P=1$, $P^{-1}=\begin{pmatrix}2&-1\\-1&1\end{pmatrix}$.

$PD=\begin{pmatrix}3&1\\3&2\end{pmatrix}$.

$A=(PD)P^{-1}=\begin{pmatrix}5&-2\\4&-1\end{pmatrix}$.

$\chi_A(\lambda)=\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A$.

Factorise pour obtenir les valeurs propres.

Pour chaque $\lambda$, résous $(A-\lambda I)v=0$.

$\operatorname{tr}A=7$, $\det A=10-4=6$ : $\chi_A=\lambda^2-7\lambda+6=(\lambda-1)(\lambda-6)$.

$(A-I)=\begin{pmatrix}4&4\\1&1\end{pmatrix}$ : $x+y=0$, vecteur $\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

$(A-6I)=\begin{pmatrix}-1&4\\1&-4\end{pmatrix}$ : $x=4y$, vecteur $\begin{pmatrix}4\\1\end{pmatrix}$.

Reprends les éléments propres ($\lambda=1,6$).

$P$ = vecteurs propres en colonnes ; calcule $P^{-1}$.

$A^n=PD^nP^{-1}$.

$P=\begin{pmatrix}1&4\\-1&1\end{pmatrix}$, $D=\begin{pmatrix}1&0\\0&6\end{pmatrix}$, $\det P=5$, $P^{-1}=\dfrac15\begin{pmatrix}1&-4\\1&1\end{pmatrix}$.

$A^n=P\begin{pmatrix}1&0\\0&6^n\end{pmatrix}P^{-1}$.

$A^n=\dfrac15\begin{pmatrix}4\cdot6^n+1&4\cdot6^n-4\\6^n-1&6^n+4\end{pmatrix}$.

Calcule $\chi_A$ : la valeur propre est-elle double ?

Si double, calcule $\dim E_\lambda$.

Compare multiplicités géométrique et algébrique.

$\operatorname{tr}A=4$, $\det A=3+1=4$ : $\chi_A=\lambda^2-4\lambda+4=(\lambda-2)^2$. $\lambda=2$ double.

$(A-2I)=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$ : $x=y$, $E_2=\operatorname{Vect}\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$, dim $1$.

$m_g(2)=1<m_a(2)=2$ : non diagonalisable.

Triangulaire : valeurs propres sur la diagonale.

Pour chaque $\lambda$, résous $(A-\lambda I)v=0$.

Trois valeurs propres distinctes $\Rightarrow$ diagonalisable.

$1,2,3$ (diagonale), distinctes : diagonalisable.

$1\to\begin{pmatrix}0\\0\\1\end{pmatrix}$, $2\to\begin{pmatrix}-1\\1\\1\end{pmatrix}$, $3\to\begin{pmatrix}0\\2\\1\end{pmatrix}$.

$P=\begin{pmatrix}0&-1&0\\0&1&2\\1&1&1\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,2,3)$.

Calcule $A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}$ (somme des lignes).

Utilise la trace : $\operatorname{tr}A=\lambda_1+\lambda_2+\lambda_3$.

$A$ symétrique : théorème spectral.

Chaque ligne somme à $5$ : $A\begin{pmatrix}1\\1\\1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}5\\5\\5\end{pmatrix}$, donc $\lambda=5$.

$\det(A-\lambda I)=-(\lambda-5)(\lambda+1)^2$ : $\lambda=-1$ (double). Trace : $5+(-1)+(-1)=3$ ✓.

$A$ symétrique $\Rightarrow$ diagonalisable ; $E_{-1}$ de dim 2.

$A$ symétrique, valeurs propres $1$ et $3$.

$A^n=PD^nP^{-1}$.

Dans $\frac{1}{3^n}A^n$, $\big(\frac13\big)^n\to0$ : ne reste que le terme dominant.

$\lambda=1\to\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$, $\lambda=3\to\begin{pmatrix}1\\1\end{pmatrix}$ : $P=\begin{pmatrix}1&1\\-1&1\end{pmatrix}$, $D=\operatorname{diag}(1,3)$.

$A^n=\dfrac12\begin{pmatrix}3^n+1&3^n-1\\3^n-1&3^n+1\end{pmatrix}$.

$\dfrac{1}{3^n}A^n=\dfrac12\begin{pmatrix}1+3^{-n}&1-3^{-n}\\1-3^{-n}&1+3^{-n}\end{pmatrix}\to\dfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&1\end{pmatrix}$.