Exercices corrigés — Matrices & systèmes linéaires

Coefficient $(i,j)$ de $AB$ = ligne $i$ de $A$ × colonne $j$ de $B$.

Calcule les deux produits séparément.

Compare : sont-ils égaux ?

$AB=\begin{pmatrix}0&0\\0&0\end{pmatrix}$ (tous coefficients nuls).

$BA=\begin{pmatrix}1&-1\\1&-1\end{pmatrix}$.

$AB\neq BA$ : produit non commutatif. De plus $AB=0$ avec $A,B\neq0$.

Opérations terme à terme.

Multiplie chaque matrice par son scalaire d'abord.

Soustrais coefficient par coefficient.

$\begin{pmatrix}4&2\\0&6\end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix}3&-3\\12&6\end{pmatrix}$.

$2A-3B=\begin{pmatrix}1&5\\-12&0\end{pmatrix}$.

Chaque coefficient $(i,j)$ = ligne $i$ de $A$ × colonne $j$ de $B$.

Procède ligne par ligne.

Vérifie au moins un coefficient par un second calcul.

$(1,0,2)$ → $(3,1,2)$.

$(0,1,1)$ → $(1,1,2)$.

$(1,1,0)$ → $(1,2,1)$.

$AB=\begin{pmatrix}3&1&2\\1&1&2\\1&2&1\end{pmatrix}$.

Élimine une inconnue en combinant les lignes.

Multiplie une ligne pour aligner les coefficients.

Une inconnue trouvée, remonte (substitution).

$L_1-2L_2$ : $7y=7$.

$y=1$.

$x-3=-1\Rightarrow x=2$.

Utilise $L_1$ comme pivot pour éliminer $x$ dans $L_2,L_3$.

Tu obtiens un système 2×2 en $y,z$.

Résous, puis remonte pour $x$.

$L_2+2L_1$ : $y=4$ ; $L_3+L_1$ : $2y+z=0$.

$8+z=0\Rightarrow z=-8$.

$-x+4+8=1\Rightarrow x=11$.

L'une des équations est-elle un multiple de l'autre ?

Si oui, le système est dégénéré.

Combien de solutions : aucune, une, ou une infinité ?

$L_2=2L_1$ : la 2ᵉ équation n'apporte rien.

Une seule équation pour 2 inconnues : infinité.

$y=t$, $x=3-2t$, $t\in\mathbb{R}$.

Pour $\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}$, déterminant $=ad-bc$.

Calcule.

Inversible $\iff \det\neq0$.

$\det A=3\cdot4-5\cdot2$.

$=12-10=2$.

$2\neq0$ : inversible.

Développe selon une ligne/colonne (en choisir une avec des zéros).

Développement 1ʳᵉ ligne : signes $+,-,+$.

Chaque mineur est un déterminant 2×2.

$1\begin{vmatrix}3&0\\0&1\end{vmatrix}-2\begin{vmatrix}2&0\\3&1\end{vmatrix}+3\begin{vmatrix}2&3\\3&0\end{vmatrix}$.

$3$ ; $2$ ; $-9$.

$1\cdot3-2\cdot2+3\cdot(-9)=3-4-27=-28$.

Vérifie d'abord $\det A\neq0$.

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

N'oublie pas le facteur $\tfrac{1}{\det A}$.

$\det A=8-9=-1\neq0$.

$A^{-1}=\dfrac{1}{-1}\begin{pmatrix}2&-3\\-3&4\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-2&3\\3&-4\end{pmatrix}$.

Accole l'identité $[A\,|\,I]$ et transforme jusqu'à $[I\,|\,A^{-1}]$.

Tu rencontreras un pivot nul en $(2,2)$ : permute deux lignes.

Vérifie par $A A^{-1}=I$.

Développement 2ᵉ colonne : $\det A=-1\cdot\begin{vmatrix}1&-1\\2&1\end{vmatrix}=-1\cdot3=-3\neq0$.

$L_2\leftarrow L_2-2L_1$, $L_3\leftarrow L_3-L_1$ ; pivot nul en $(2,2)$ → permuter $L_2,L_3$, poursuivre.

$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&1&0\\5&-4&3\\-2&1&0\end{pmatrix}$.

Développe selon la 1ʳᵉ ligne.

Tu obtiens un polynôme en $a$.

Inversible $\iff \det A\neq0$.

$1\begin{vmatrix}a&1\\1&0\end{vmatrix}+a\begin{vmatrix}0&a\\a&1\end{vmatrix}$.

$-1$ ; $-a^2$.

$\det A=-1+a(-a^2)=-1-a^3$.

$-1-a^3\neq0\iff a\neq-1$.

Solution unique $\iff$ déterminant de la matrice du système non nul.

Calcule $\det\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$.

Conclus.

$M=\begin{pmatrix}2&1\\4&2\end{pmatrix}$.

$\det M=4-4=0$.

$\det M=0$ : pas de solution unique (ici aucune, car $2(2x+y)=6\neq1$).

Coefficient $(i,j)$ de $AB$ = ligne $i$ de $A$ × colonne $j$ de $B$.

Pour $3A-2B$ : multiplie chaque matrice par son scalaire, puis soustrais terme à terme.

Vérifie au moins un coefficient de chaque résultat par un second calcul.

$(2,-1)$ → $(2\cdot1+(-1)\cdot0,\ 2\cdot2+(-1)(-1))=(2,5)$.

$(1,3)$ → $(1\cdot1+3\cdot0,\ 1\cdot2+3\cdot(-1))=(1,-1)$, donc $AB=\begin{pmatrix}2&5\\1&-1\end{pmatrix}$.

$3A=\begin{pmatrix}6&-3\\3&9\end{pmatrix}$ ; $2B=\begin{pmatrix}2&4\\0&-2\end{pmatrix}$.

$3A-2B=\begin{pmatrix}4&-7\\3&11\end{pmatrix}$.

$A$ est la matrice des coefficients, $X=\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}$, $B$ le second membre.

Solution unique $\iff \det A\neq0$.

Combine les lignes pour éliminer $x$, puis remonte.

$\begin{pmatrix}3&2\\1&-1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}7\\4\end{pmatrix}$.

$\det A=3\cdot(-1)-2\cdot1=-5\neq0$ : solution unique.

$L_1-3L_2$ : $5y=7-12=-5$, donc $y=-1$.

$x-(-1)=4\Rightarrow x=3$.

$\det\begin{pmatrix}a&b\\c&d\end{pmatrix}=ad-bc$.

$A^{-1}=\dfrac{1}{\det A}\begin{pmatrix}d&-b\\-c&a\end{pmatrix}$.

Contrôle final : $A A^{-1}$ doit donner $I_2$.

$\det A=5\cdot3-2\cdot7=15-14=1\neq0$ : $A$ inversible.

$A^{-1}=\dfrac{1}{1}\begin{pmatrix}3&-2\\-7&5\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}3&-2\\-7&5\end{pmatrix}$.

$A A^{-1}=\begin{pmatrix}15-14&-10+10\\21-21&-14+15\end{pmatrix}=I_2$.

Utilise $L_1$ comme pivot pour éliminer $x$ dans $L_2$ et $L_3$.

Tu obtiens un système 2×2 en $y,z$ : résous-le.

Remonte dans $L_1$ pour trouver $x$, puis vérifie dans les 3 équations.

$L_2-2L_1$ : $-3y-z=-9$ ; $L_3-L_1$ : $y-2z=-4$.

De $-3y-z=-9$ : $z=9-3y$ ; reporté dans $y-2z=-4$ : $7y=14$.

$y=2$, puis $z=9-6=3$.

$x=6-y-z=6-2-3=1$.

Développe le déterminant selon la 1ʳᵉ colonne (deux coefficients non nuls seulement).

Accole l'identité : $[A\,|\,I_3]\to[I_3\,|\,A^{-1}]$ par opérations sur les lignes.

Vérifie par $A A^{-1}=I_3$.

Développement 1ʳᵉ colonne : $1\begin{vmatrix}1&1\\0&1\end{vmatrix}+1\begin{vmatrix}2&0\\1&1\end{vmatrix}=1+2=3\neq0$ : inversible.

$L_3\leftarrow L_3-L_1$ donne $(0,-2,1)$ ; puis $L_3\leftarrow L_3+2L_2$ donne $(0,0,3)$ ; $L_3\leftarrow\tfrac13L_3$.

$L_2\leftarrow L_2-L_3$, puis $L_1\leftarrow L_1-2L_2$ : la partie gauche devient $I_3$.

$A^{-1}=\dfrac{1}{3}\begin{pmatrix}1&-2&2\\1&1&-1\\-1&2&1\end{pmatrix}$.

Simplifie d'abord : $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3-L_1$ ne changent pas le déterminant.

La matrice obtenue est triangulaire : produit de la diagonale.

Inversible $\iff \det A\neq0$.

$L_2\leftarrow L_2-L_1$ : $(0,a-1,0)$ ; $L_3\leftarrow L_3-L_1$ : $(0,0,a-1)$ (déterminant inchangé).

$\det A=\det\begin{pmatrix}1&1&1\\0&a-1&0\\0&0&a-1\end{pmatrix}=1\cdot(a-1)\cdot(a-1)$.

$\det A=(a-1)^2$.

$(a-1)^2\neq0\iff a\neq1$ (pour $a=1$, les trois lignes sont identiques).