Exercices corrigés — Formes quadratiques & espaces euclidiens

$A_{11}$ = coefficient de $x^2$, $A_{22}$ = coefficient de $y^2$.

$A_{12}=A_{21}=\dfrac12\times$ (coefficient de $xy$).

Le coefficient de $xy$ est $4$, donc $A_{12}=2$.

Coefficient de $x^2$ : $1$ ; de $y^2$ : $3$. Donc $A_{11}=1$, $A_{22}=3$.

Coefficient de $xy$ : $4$, partagé en deux : $A_{12}=A_{21}=2$.

$A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$ ; $x^{\mathsf T}Ax=x^2+2xy+2xy+3y^2=x^2+4xy+3y^2$. ✓

$b(u,v)=u^{\mathsf T}Av$ avec $A=\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}$.

Ou bien $b(u,v)=\dfrac12\big(q(u+v)-q(u)-q(v)\big)$.

Remplacer chaque $x_i^2$ par $x_ix_i'$ et chaque $2x_ix_j$ par $x_ix_j'+x_i'x_j$.

$b=\begin{pmatrix}x&y\end{pmatrix}\begin{pmatrix}1&2\\2&3\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x'\\y'\end{pmatrix}=x x'+2xy'+2x'y+3yy'$.

$b\big((x,y),(x',y')\big)=xx'+2(xy'+x'y)+3yy'$.

Diagonale : coefficients de $x^2,y^2,z^2$.

$A_{12}=\tfrac12(\text{coeff }xy)$, $A_{13}=\tfrac12(\text{coeff }xz)$, $A_{23}=\tfrac12(\text{coeff }yz)$.

Attention au signe du terme $-4xz$.

$A_{11}=1$, $A_{22}=2$, $A_{33}=3$.

$A_{12}=\tfrac12\cdot2=1$ ; $A_{13}=\tfrac12\cdot(-4)=-2$ ; $A_{23}=\tfrac12\cdot6=3$.

$A=\begin{pmatrix}1&1&-2\\1&2&3\\-2&3&3\end{pmatrix}$.

$q(1,-1)$ : remplacer $x=1,y=-1$.

$b(u,v)=u^{\mathsf T}Av$ ; calculer d'abord $Av$.

$Av=A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}$.

$1+4(1)(-1)+3(-1)^2=1-4+3=0$.

$A\begin{pmatrix}1\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}1-2\\2-3\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}$.

$\begin{pmatrix}2&1\end{pmatrix}\begin{pmatrix}-1\\-1\end{pmatrix}=-2-1=-3$.

Une forme quadratique est un polynôme homogène de degré 2 : tous les monômes de degré exactement $2$.

Un terme de degré $1$ (comme $x$) ou $0$ (comme $1$) disqualifie.

Vérifier le degré de chaque monôme.

$x^2,xy,yz$ sont tous de degré $2$ : $q_1$ et $q_3$ sont des formes quadratiques.

$q_2$ contient $x$ (degré $1$), $q_4$ contient $1$ (degré $0$) : non homogènes de degré $2$.

$q(x,y)=A_{11}x^2+2A_{12}xy+A_{22}y^2$.

$A_{11}=2$, $A_{22}=5$.

Le coefficient de $xy$ est $2A_{12}=2\cdot(-1)=-2$.

$A_{11}x^2+A_{22}y^2=2x^2+5y^2$.

$2A_{12}xy=2(-1)xy=-2xy$.

Il y a un terme $x^2$ : regrouper tous les termes contenant $x$ dans un carré.

$x^2+4xy=(x+2y)^2-4y^2$.

Reporter, puis compter les signes.

$x^2+4xy+3y^2=(x+2y)^2-4y^2+3y^2=(x+2y)^2-y^2$.

Un carré $+$ et un carré $-$ : $\operatorname{sgn}(q)=(1,1)$, rang $2$.

Signes opposés $\Longrightarrow$ $q$ non définie (elle change de signe).

Utiliser l'identité $xy=\dfrac14\big[(x+y)^2-(x-y)^2\big]$.

C'est le cas « pas de carré » de la méthode de Gauss.

Compter ensuite les signes.

$xy=\dfrac14(x+y)^2-\dfrac14(x-y)^2$.

$(x+y)$ et $(x-y)$ sont indépendantes : un $+$, un $-$ $\Longrightarrow$ $\operatorname{sgn}(q)=(1,1)$, rang $2$.

Reconnaître éventuellement une identité remarquable.

$x^2-4xy+4y^2=(x-2y)^2$.

Un seul carré : que vaut le rang ?

$q=(x-2y)^2$ : un seul carré, de coefficient $+1$.

$\operatorname{sgn}(q)=(1,0)$, rang $1<2$ : $q$ est dégénérée.

$q\ge0$ mais $q(2,1)=0$ avec $(2,1)\neq0$ : positive non définie (dégénérée).

Regrouper les termes en $x$ : $x^2+xy=\Big(x+\dfrac y2\Big)^2-\dfrac{y^2}4$.

Reporter dans $q$.

Tous les coefficients des carrés sont-ils $>0$ ?

$x^2+xy+y^2=\Big(x+\dfrac y2\Big)^2-\dfrac{y^2}4+y^2=\Big(x+\dfrac y2\Big)^2+\dfrac34 y^2$.

Deux carrés à coefficients $1$ et $\dfrac34$, tous $>0$ : $\operatorname{sgn}(q)=(2,0)$ $\Longrightarrow$ $q$ définie positive.

Regrouper d'abord tous les termes en $x$ : $x^2+2xy=(x+y)^2-y^2$.

Il reste une forme en $(y,z)$ : recommencer avec $y$.

$y^2+2yz=(y+z)^2-z^2$.

$x^2+2xy=(x+y)^2-y^2$, d'où $q=(x+y)^2-y^2+2y^2+3z^2+2yz=(x+y)^2+y^2+2yz+3z^2$.

$y^2+2yz=(y+z)^2-z^2$, d'où $q=(x+y)^2+(y+z)^2-z^2+3z^2=(x+y)^2+(y+z)^2+2z^2$.

Trois carrés indépendants, coefficients $1,1,2$ tous $>0$ : $\operatorname{sgn}(q)=(3,0)$, définie positive.

Regrouper les termes en $x$ : $x^2+2xy=(x+y)^2-y^2$.

Combien de carrés non nuls reste-t-il ? (rang)

Le noyau est $\ker A$ : résoudre $Av=0$ avec $A$ la matrice de $q$.

$q=(x+y)^2-y^2+y^2+2z^2=(x+y)^2+2z^2$.

Deux carrés $>0$ : $\operatorname{sgn}(q)=(2,0)$, rang $2<3$ : dégénérée.

$A=\begin{pmatrix}1&1&0\\1&1&0\\0&0&2\end{pmatrix}$, $Av=0\Rightarrow v=(1,-1,0)$ (à un scalaire près) : $\ker A=\operatorname{Vect}(1,-1,0)$, et $q(1,-1,0)=0$.

Diagonale : coefficients de $x^2$ et $y^2$.

$A_{12}=\tfrac12(\text{coeff }xy)$.

Coefficient de $xy$ : $-2$.

$A_{11}=A_{22}=3$.

$A_{12}=\tfrac12(-2)=-1$.

Matrice $\begin{pmatrix}3&-1\\-1&3\end{pmatrix}$.

$b=u^{\mathsf T}Av$.

Le terme croisé $-2xy$ devient $-(xy'+x'y)$.

$b=3xx'-xy'-x'y+3yy'=3xx'-(xy'+x'y)+3yy'$.

$x^2+6xy=(x+3y)^2-9y^2$.

Reporter dans $q$.

Compter les signes.

$q=(x+3y)^2-9y^2+5y^2=(x+3y)^2-4y^2$.

Un $+$, un $-$ : $\operatorname{sgn}(q)=(1,1)$, non définie.

La forme est déjà une somme de carrés (matrice diagonale).

Lire directement les coefficients.

$2>0$ et $3>0$.

$q=2x^2+3y^2$ : deux carrés à coefficients $2,3>0$.

$\operatorname{sgn}(q)=(2,0)$ : définie positive.

Forme déjà réduite (somme de carrés).

Compter les coefficients $>0$ et $<0$.

$+1,+1,-1$.

Coefficients des carrés : $+1,+1,-1$.

$\operatorname{sgn}(q)=(2,1)$ (non définie, non dégénérée car rang $3$).

Forme déjà réduite.

Les deux coefficients sont $-1$.

Signe constant négatif.

$q=-x^2-y^2$ : deux carrés à coefficients $-1<0$.

$\operatorname{sgn}(q)=(0,2)$ : définie négative ($q(x)<0$ pour tout $x\neq0$).