Exercices corrigés — Équations différentielles

Calcule $f'(x)$ (dérivée de $e^{u}$ : $u'e^{u}$, vue au chapitre Dérivation).

Remplace $f'$ et $f$ dans le membre de gauche : tu dois trouver $0$ pour tout $x$.

Pour $g$ : même démarche, l'égalité doit être vraie pour TOUT $x$.

$f'(x)=5\times(-3)e^{-3x}=-15e^{-3x}$.

$f'(x)+3f(x)=-15e^{-3x}+15e^{-3x}=0$ pour tout $x$ : $f$ est solution.

$g'(x)+3g(x)=e^{x}+3e^{x}=4e^{x}\neq 0$ : $g$ n'est pas solution.

Équation de la forme $y'+ay=0$ : solutions $y=Ce^{-ax}$.

Ici $a=4$.

Impose ensuite $y(0)=1$ pour trouver $C$.

$y'+4y=0$ est de la forme $y'+ay=0$ avec $a=4$ : $y(x)=Ce^{-4x}$, $C\in\mathbb{R}$.

$y(0)=Ce^{0}=C=1$.

$y(x)=e^{-4x}$.

Sous la forme $y'=ay$, les solutions sont $y=Ce^{ax}$ (ici $a=2$, exposant positif).

Attention au signe : $y'=2y$ équivaut à $y'-2y=0$.

$y(0)=3$ détermine $C$.

$y'=2y$ : $y(x)=Ce^{2x}$, $C\in\mathbb{R}$ (croissance exponentielle si $C>0$).

$y(0)=C=3$.

$y(x)=3e^{2x}$.

Structure : solution générale de l'homogène $y'+2y=0$ plus une solution particulière.

Cherche une solution particulière constante $y_p=k$ : sa dérivée est nulle.

$2k=6$ donne $k$.

$y'+2y=0$ : $y_h=Ce^{-2x}$.

$y_p=k$ : $0+2k=6\Rightarrow k=3$.

$y(x)=Ce^{-2x}+3$, $C\in\mathbb{R}$.

$Ce^{-2x}\to 0$ donc $y\to 3$ : toutes les solutions convergent vers la valeur d'équilibre $3$ (régime permanent).

Homogène : $y'-y=0$, donc $y_h=Ce^{x}$ (coefficient $-1$ : exposant $+x$).

Solution particulière constante : $-k=2$.

Détermine $C$ avec $y(0)=0$ sur la solution complète.

$y'-y=0$ : $y_h=Ce^{x}$.

$y_p=k$ constante : $0-k=2\Rightarrow k=-2$.

$y(x)=Ce^{x}-2$.

$y(0)=C-2=0\Rightarrow C=2$, d'où $y(x)=2e^{x}-2$.

$N'=-0{,}1N$ est de la forme $y'=ay$ avec $a=-0{,}1$.

$N(0)=N_0$ fixe la constante.

Pour la demi-vie : résous $e^{-0{,}1t}=\dfrac12$ avec le logarithme népérien.

$N(t)=Ce^{-0{,}1t}$ ; $N(0)=C=N_0$, donc $N(t)=N_0e^{-0{,}1t}$.

$N_0e^{-0{,}1t}=\dfrac{N_0}{2}\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac12$.

$-0{,}1t=\ln\dfrac12=-\ln 2$, donc $t_{1/2}=10\ln 2$.

$t_{1/2}=10\ln 2\approx 6{,}9$ jours.

Écris l'équation caractéristique : $r^2-3r+2=0$.

Calcule le discriminant et les racines.

$\Delta>0$ : solution générale $C_1e^{r_1x}+C_2e^{r_2x}$.

$r^2-3r+2=0$, $\Delta=9-8=1>0$.

$r=\dfrac{3\pm 1}{2}$ : $r_1=1$ et $r_2=2$.

$y(x)=C_1e^{x}+C_2e^{2x}$, $C_1,C_2\in\mathbb{R}$.

Équation caractéristique : $r^2+4r+4=0$.

$\Delta=0$ : racine double $r_0$.

Solution générale : $(C_1+C_2x)e^{r_0x}$ — ne pas oublier le facteur $x$.

$r^2+4r+4=0$, $\Delta=16-16=0$ : racine double $r_0=-2$ (car $r^2+4r+4=(r+2)^2$).

$y(x)=(C_1+C_2x)\,e^{-2x}$, $C_1,C_2\in\mathbb{R}$.

Équation caractéristique : $r^2+2r+5=0$, calcule $\Delta$.

$\Delta<0$ : racines complexes conjuguées $\alpha\pm i\beta$ (chapitre Nombres complexes).

Solution générale : $e^{\alpha x}(C_1\cos\beta x+C_2\sin\beta x)$.

$r^2+2r+5=0$, $\Delta=4-20=-16<0$.

$r=\dfrac{-2\pm 4i}{2}=-1\pm 2i$ : $\alpha=-1$, $\beta=2$.

$y(x)=e^{-x}\big(C_1\cos 2x+C_2\sin 2x\big)$, $C_1,C_2\in\mathbb{R}$ : oscillations amorties par $e^{-x}$.

Équation caractéristique : $r^2+9=0$, racines imaginaires pures.

$r=\pm 3i$ : $\alpha=0$, $\beta=3$.

La période d'une oscillation en $\cos\omega_0 t$ est $T=\dfrac{2\pi}{\omega_0}$.

$r^2+9=0\iff r^2=-9\iff r=\pm 3i$ (racines imaginaires pures, chapitre Nombres complexes).

$x(t)=C_1\cos 3t+C_2\sin 3t$ : oscillations non amorties ($\alpha=0$).

$\omega_0=3$ rad/s et $T=\dfrac{2\pi}{3}\approx 2{,}1$ s.

Équation caractéristique $r^2-1=0$ : racines $\pm 1$.

Écris $y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}$ et $y'$, puis impose les deux conditions.

Tu obtiens un système $2\times 2$ en $C_1,C_2$.

$r^2-1=0$ : $r=\pm1$, donc $y=C_1e^{x}+C_2e^{-x}$ et $y'=C_1e^{x}-C_2e^{-x}$.

$y(0)=C_1+C_2=2$ et $y'(0)=C_1-C_2=0$.

Par somme/différence : $C_1=C_2=1$.

$y(x)=e^{x}+e^{-x}$.

Équation caractéristique $r^2+4=0$ : racines $\pm 2i$.

$y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$ ; calcule $y'$ avant d'imposer $y'(0)$.

$y(0)$ donne $C_1$ directement, $y'(0)$ donne $C_2$.

$r=\pm 2i$ : $y=C_1\cos 2x+C_2\sin 2x$, et $y'=-2C_1\sin 2x+2C_2\cos 2x$.

$y(0)=C_1=1$ ; $y'(0)=2C_2=2\Rightarrow C_2=1$.

$y(x)=\cos 2x+\sin 2x$.

Forme $y'+ay=0$ avec $a=5$ : solutions $Ce^{-5x}$.

$y(0)=2$ donne $C$.

Contrôle : re-substitue ta solution dans l'équation.

$y=Ce^{-5x}$, $C\in\mathbb{R}$.

$y(0)=C=2$.

$y(x)=2e^{-5x}$.

Homogène : $y'-2y=0$ donne $Ce^{2x}$.

Solution particulière constante : $-2k=6$.

Impose $y(0)=0$ à la solution complète $Ce^{2x}+k$.

$y_h=Ce^{2x}$.

$y_p=k$ : $-2k=6\Rightarrow k=-3$.

$y=Ce^{2x}-3$.

$y(0)=C-3=0\Rightarrow C=3$, d'où $y(x)=3e^{2x}-3$.

Pour 1) : calcule $y_p'+y_p$ et compare à $x$.

Solution générale $=$ solution homogène $Ce^{-x}$ $+$ $y_p$.

$y(0)=C-1$.

$y_p'+y_p=1+(x-1)=x$ : $y_p=x-1$ est bien solution.

Homogène $y'+y=0$ : $Ce^{-x}$. Donc $y(x)=Ce^{-x}+x-1$, $C\in\mathbb{R}$.

$y(0)=C-1=1\Rightarrow C=2$.

$y(x)=2e^{-x}+x-1$.

Équation caractéristique $r^2-5r+6=0$ : $\Delta=1$, racines $2$ et $3$.

$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$ ; écris le système donné par $y(0)$ et $y'(0)$.

$C_1+C_2=0$ et $2C_1+3C_2=1$.

$r^2-5r+6=0$, $\Delta=25-24=1$ : racines $r=\dfrac{5\pm1}{2}$, soit $2$ et $3$.

$y=C_1e^{2x}+C_2e^{3x}$, $y'=2C_1e^{2x}+3C_2e^{3x}$.

$y(0)=C_1+C_2=0$ et $y'(0)=2C_1+3C_2=1$ : de la première, $C_1=-C_2$, donc $-2C_2+3C_2=C_2=1$ et $C_1=-1$.

$y(x)=e^{3x}-e^{2x}$.

Équation caractéristique $r^2+2r+1=(r+1)^2$ : racine double $-1$.

$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$ : dérive ce produit avant d'imposer $y'(0)$.

$y'(0)=C_2-C_1$.

$r^2+2r+1=(r+1)^2=0$ : racine double $r_0=-1$ ($\Delta=0$).

$y=(C_1+C_2x)e^{-x}$, et $y'=(C_2-C_1-C_2x)e^{-x}$.

$y(0)=C_1=1$ ; $y'(0)=C_2-C_1=0\Rightarrow C_2=1$.

$y(x)=(1+x)\,e^{-x}$ : retour à l'équilibre sans oscillation (amortissement critique).

Développe : $\theta'+0{,}1\theta=2$ — second membre constant, équilibre $\theta=20$.

Solution de la forme $\theta=20+Ke^{-0{,}1t}$ ; $\theta(0)=80$ donne $K$.

Résous $60e^{-0{,}1t}=30$ avec le logarithme.

$\theta'+0{,}1\theta=2$ : homogène $Ke^{-0{,}1t}$, particulière constante $\theta_p=20$ (la température ambiante). Donc $\theta=20+Ke^{-0{,}1t}$.

$\theta(0)=20+K=80\Rightarrow K=60$ : $\theta(t)=20+60e^{-0{,}1t}$.

$20+60e^{-0{,}1t}=50\iff e^{-0{,}1t}=\dfrac12\iff t=10\ln 2$.

$t=10\ln 2\approx 6{,}9$ minutes.