Exercices corrigés — Fractions rationnelles

Une fraction est propre si $\deg(\text{numérateur})<\deg(\text{dénominateur})$, au sens strict.

Compare les degrés une fraction à la fois.

Une égalité des degrés rend la fraction impropre.

$\deg(2x+3)=1<\deg(x^2-1)=2$ : $F_1$ est propre.

$\deg(x^3)=3>\deg(x^2+1)=2$ : $F_2$ est impropre.

$\deg(x^2-x)=2=\deg(x^2+x+1)$ : degrés égaux (pas strictement inférieur), donc $F_3$ est impropre.

$\deg(\text{num})=\deg(\text{dén})=1$ : la fraction est impropre, sa partie entière est une constante.

Pose la division euclidienne de $2x+1$ par $x-3$.

Écris $2x+1=2(x-3)+\,r$ et identifie $r$.

$2x+1=2(x-3)+7$.

$F(x)=2+\dfrac{7}{x-3}$.

$\deg(\text{num})=3>\deg(\text{dén})=2$ : la partie entière est de degré $3-2=1$.

Effectue la division euclidienne suivant les puissances décroissantes.

Le reste doit être de degré $<2$.

$x^3-2x^2+3=(x-2)(x^2+1)+(5-x)$.

$F(x)=x-2+\dfrac{5-x}{x^2+1}$.

Cherche une racine entière parmi les diviseurs de $6$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.

$D(-1)=0$ : donc $(x+1)$ divise $D$.

Divise par $(x+1)$, puis factorise le trinôme obtenu.

$D(-1)=-1-4-1+6=0$ : $(x+1)\mid D$.

$D(x)=(x+1)(x^2-5x+6)$.

$x^2-5x+6=(x-2)(x-3)$ ($\Delta=25-24=1$, racines $2$ et $3$).

$D(x)=(x+1)(x-2)(x-3)$.

Vérifie d'abord que $F$ est propre (sinon, partie entière préalable).

À chaque pôle simple $x=a$ correspond un terme $\dfrac{A}{x-a}$.

Il y a ici trois pôles simples distincts.

$\deg(2x+5)=1<3$ : $F$ est propre, aucune partie entière.

Pôles simples $-1,\,2,\,3$ $\Rightarrow$ trois termes du premier degré.

$F(x)=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x-3}$.

$1$ est une racine évidente de $x^3-1$.

Le quotient est $x^2+x+1$ : calcule son discriminant.

Un facteur quadratique de discriminant négatif donne un terme $\dfrac{\alpha x+\beta}{x^2+x+1}$.

$x^3-1=(x-1)(x^2+x+1)$.

$\Delta=1^2-4=-3<0$ : $x^2+x+1$ n'a pas de racine réelle. Ses racines sont $j=e^{2i\pi/3}$ et $j^2=e^{4i\pi/3}$ (racines cubiques de l'unité, chapitre Nombres complexes).

$F(x)=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{\alpha x+\beta}{x^2+x+1}$.

Factorise le dénominateur : $x^2+x-2=(x-1)(x+2)$.

Forme : $\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$.

Couverture : $A=\big[(x-1)F\big]_{x=1}$, $B=\big[(x+2)F\big]_{x=-2}$.

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$ : pôles simples $1$ et $-2$.

$F(x)=\dfrac{A}{x-1}+\dfrac{B}{x+2}$.

$A=\Big[\dfrac{x+5}{x+2}\Big]_{x=1}=\dfrac{6}{3}=2$.

$B=\Big[\dfrac{x+5}{x-1}\Big]_{x=-2}=\dfrac{3}{-3}=-1$.

$F(x)=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x+2}$.

La forme est $\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}+\dfrac{C}{x-3}$ (trois pôles simples).

Couverture en chaque pôle : multiplier par le facteur et évaluer.

Conserve les fractions exactes.

$A=\Big[\dfrac{2x+5}{(x-2)(x-3)}\Big]_{x=-1}=\dfrac{3}{(-3)(-4)}=\dfrac{1}{4}$.

$B=\Big[\dfrac{2x+5}{(x+1)(x-3)}\Big]_{x=2}=\dfrac{9}{(3)(-1)}=-3$.

$C=\Big[\dfrac{2x+5}{(x+1)(x-2)}\Big]_{x=3}=\dfrac{11}{(4)(1)}=\dfrac{11}{4}$.

$F(x)=\dfrac{1}{4(x+1)}-\dfrac{3}{x-2}+\dfrac{11}{4(x-3)}$.

$\deg(\text{num})>\deg(\text{dén})$ : commence par la partie entière (division).

$x^3=x(x^2-1)+x$, donc $F=x+\dfrac{x}{x^2-1}$.

Décompose ensuite $\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}$ par couverture.

$x^3=x(x^2-1)+x$, donc $F(x)=x+\dfrac{x}{(x-1)(x+1)}$.

$\Big[\dfrac{x}{x+1}\Big]_{x=1}=\dfrac{1}{2}$.

$\Big[\dfrac{x}{x-1}\Big]_{x=-1}=\dfrac{-1}{-2}=\dfrac{1}{2}$.

$F(x)=x+\dfrac{1}{2(x-1)}+\dfrac{1}{2(x+1)}$.

Pose $\dfrac{5x-1}{(x+1)(x-2)}=\dfrac{A}{x+1}+\dfrac{B}{x-2}$.

Réduis au même dénominateur : $5x-1=A(x-2)+B(x+1)$.

Identifie le coefficient de $x$ et le terme constant.

$5x-1=A(x-2)+B(x+1)=(A+B)x+(-2A+B)$.

$\begin{cases}A+B=5\\ -2A+B=-1\end{cases}$

Par soustraction : $3A=6\Rightarrow A=2$, puis $B=3$.

$F(x)=\dfrac{2}{x+1}+\dfrac{3}{x-2}$.

Mets les deux termes proposés au même dénominateur $(x-2)(x+1)$.

Le numérateur obtenu doit être exactement $3x+1$.

Réduis et compare.

$\dfrac{7}{3(x-2)}+\dfrac{2}{3(x+1)}=\dfrac{7(x+1)+2(x-2)}{3(x-2)(x+1)}$.

$7(x+1)+2(x-2)=7x+7+2x-4=9x+3=3(3x+1)$.

$\dfrac{3(3x+1)}{3(x-2)(x+1)}=\dfrac{3x+1}{(x-2)(x+1)}$ : identique à la fraction de départ.

La décomposition proposée est correcte.

Couverture en $x=1$ et $x=2$.

Le numérateur est de degré $\deg(\text{dén})-1=1$ : la somme des coefficients égale le coefficient dominant du numérateur.

Ici ce coefficient dominant vaut $1$.

$A=\Big[\dfrac{x-3}{x-2}\Big]_{x=1}=\dfrac{-2}{-1}=2$.

$B=\Big[\dfrac{x-3}{x-1}\Big]_{x=2}=\dfrac{-1}{1}=-1$.

$F(x)=\dfrac{2}{x-1}-\dfrac{1}{x-2}$.

$A+B=2-1=1$, égal au coefficient dominant du numérateur $x-3$ : cohérent avec $F\sim\tfrac{1}{x}$ en $\pm\infty$.

Compare le degré du numérateur et celui du dénominateur (propre = strictement inférieur).

$\deg(\text{num})-\deg(\text{dén})=2-1=1$ : la partie entière est de degré $1$.

Pose la division euclidienne de $x^2+3x+5$ par $x+2$ : le reste doit être de degré $0$.

$\deg(x^2+3x+5)=2>\deg(x+2)=1$ : $F$ est impropre, il faut extraire la partie entière.

$x^2+3x+5=(x+2)(x+1)+3$ : quotient $x+1$, reste $3$.

$F(x)=x+1+\dfrac{3}{x+2}$.

Factorise $x^2-x-6$ : calcule le discriminant ($\Delta=25$).

Forme : $\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}$, coefficients par couverture.

$A=\big[(x-3)F\big]_{x=3}$ et $B=\big[(x+2)F\big]_{x=-2}$.

$\Delta=1+24=25$, racines $\dfrac{1\pm5}{2}=3$ et $-2$ : $x^2-x-6=(x-3)(x+2)$.

$F(x)=\dfrac{A}{x-3}+\dfrac{B}{x+2}$ (deux pôles simples, fraction propre).

$A=\Big[\dfrac{x+7}{x+2}\Big]_{x=3}=\dfrac{10}{5}=2$.

$B=\Big[\dfrac{x+7}{x-3}\Big]_{x=-2}=\dfrac{5}{-5}=-1$.

$F(x)=\dfrac{2}{x-3}-\dfrac{1}{x+2}$.

Cherche une racine entière de $D$ parmi les diviseurs de $6$ : $\pm1,\pm2,\pm3,\pm6$.

$D(1)=0$ : divise $D$ par $(x-1)$, puis factorise le trinôme obtenu.

Trois pôles simples $\Rightarrow$ trois coefficients par couverture.

$D(1)=1-7+6=0$ : $(x-1)\mid D$.

$D(x)=(x-1)(x^2+x-6)$, et $x^2+x-6=(x-2)(x+3)$ ($\Delta=25$, racines $2$ et $-3$). Donc $D(x)=(x-1)(x-2)(x+3)$.

$A=\Big[\dfrac{4x+2}{(x-2)(x+3)}\Big]_{x=1}=\dfrac{6}{(-1)(4)}=-\dfrac{3}{2}$.

$B=\Big[\dfrac{4x+2}{(x-1)(x+3)}\Big]_{x=2}=\dfrac{10}{5}=2$ ; $C=\Big[\dfrac{4x+2}{(x-1)(x-2)}\Big]_{x=-3}=\dfrac{-10}{20}=-\dfrac{1}{2}$.

$F(x)=-\dfrac{3}{2(x-1)}+\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{2(x+3)}$.

Degrés égaux ($2=2$) : la partie entière est une constante.

$x^2+5x+1=(x^2+3x+2)+(2x-1)$, puis factorise $x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$.

Décompose $\dfrac{2x-1}{(x+1)(x+2)}$ par couverture.

$x^2+5x+1=1\cdot(x^2+3x+2)+(2x-1)$, donc $F(x)=1+\dfrac{2x-1}{x^2+3x+2}$.

$x^2+3x+2=(x+1)(x+2)$ (racines $-1$ et $-2$).

$A=\Big[\dfrac{2x-1}{x+2}\Big]_{x=-1}=\dfrac{-3}{1}=-3$.

$B=\Big[\dfrac{2x-1}{x+1}\Big]_{x=-2}=\dfrac{-5}{-1}=5$.

$F(x)=1-\dfrac{3}{x+1}+\dfrac{5}{x+2}$.

Pose $\dfrac{x+8}{(x-2)(x+3)}=\dfrac{A}{x-2}+\dfrac{B}{x+3}$ et réduis au même dénominateur.

Identifie : $x+8=A(x+3)+B(x-2)$ donne un système $2\times2$ en $A,B$.

Contrôle : $A=\big[(x-2)F\big]_{x=2}$ et $B=\big[(x+3)F\big]_{x=-3}$.

$x+8=A(x+3)+B(x-2)=(A+B)x+(3A-2B)$.

$\begin{cases}A+B=1\\ 3A-2B=8\end{cases}$

De la première ligne $B=1-A$, d'où $3A-2(1-A)=8$, soit $5A=10$ : $A=2$ puis $B=-1$.

$A=\Big[\dfrac{x+8}{x+3}\Big]_{x=2}=\dfrac{10}{5}=2$ ; $B=\Big[\dfrac{x+8}{x-2}\Big]_{x=-3}=\dfrac{5}{-5}=-1$ : concordance.

$F(x)=\dfrac{2}{x-2}-\dfrac{1}{x+3}$.

Fraction propre ($2<3$), trois pôles simples : forme $\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+3}$.

Couverture en $x=0$, $x=1$ et $x=-3$.

Contrôle : $xF(x)\to$ coefficient dominant du numérateur en $+\infty$, et $xF(x)\to A+B+C$.

$\deg(x^2+2x+6)=2<3$ : $F$ propre, $F(x)=\dfrac{A}{x}+\dfrac{B}{x-1}+\dfrac{C}{x+3}$.

$A=\Big[\dfrac{x^2+2x+6}{(x-1)(x+3)}\Big]_{x=0}=\dfrac{6}{(-1)(3)}=-2$.

$B=\Big[\dfrac{x^2+2x+6}{x(x+3)}\Big]_{x=1}=\dfrac{9}{4}$.

$C=\Big[\dfrac{x^2+2x+6}{x(x-1)}\Big]_{x=-3}=\dfrac{9}{(-3)(-4)}=\dfrac{3}{4}$.

$A+B+C=-2+\dfrac{9}{4}+\dfrac{3}{4}=1$, égal au coefficient de $x^2$ du numérateur : cohérent avec $xF\to 1$ en $+\infty$.