Exercices corrigés — Intégrales & primitives

Primitive terme à terme (linéarité).

Pour $x^n$, la primitive est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

N'oublie pas la constante $+C$.

Chercher une primitive, c'est remonter la dérivation : on cherche $F$ telle que $F'=f$. Il n'y a donc rien à inventer — on lit la table des dérivées à l'envers.

Ici $f$ est un polynôme, donc on traite chaque terme séparément : la primitive d'une somme est la somme des primitives.

Une primitive de $f$ est une fonction $F$ dont la dérivée est $f$. C'est tout. La question « quelle est la primitive de $3x^2$ ? » se lit donc « quelle fonction, quand je la dérive, me donne $3x^2$ ? » — et la réponse $x^3$ se vérifie en une seconde.

👉 Pourquoi il n'y en a jamais une seule. Souviens-toi qu'ajouter une constante translate la courbe vers le haut sans la déformer, donc sans changer aucune pente. Si $F'=f$, alors $(F+7)'=f$ aussi, et $(F-1000)'=f$ également.

Il y a donc une infinité de primitives, et elles diffèrent toutes d'une constante — ni plus, ni moins. C'est ce que note le « $+C$ » :

Graphiquement : une famille de courbes empilées les unes au-dessus des autres, toutes de même forme. Choisir $C$, c'est choisir à quelle hauteur on se place — ce qu'une condition du type « $F(0)=5$ » permet de faire.

Primitive d'une puissance

$$\int x^n\,\mathrm{d}x=\frac{x^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$

On monte l'exposant de $1$, puis on divise par le nouvel exposant. C'est exactement l'inverse de $(x^n)'=nx^{n-1}$, où l'exposant descend en facteur puis diminue.

⚠️ L'exclusion $n\neq-1$ n'est pas un caprice : pour $n=-1$ la formule donnerait $\frac{x^0}{0}$, une division par zéro. C'est le seul cas où la primitive n'est pas une puissance — c'est $\ln\lvert x\rvert$, et on le verra à l'exercice A3.

On applique la règle terme par terme.

⚠️ Le cas de la constante piège souvent : $5$ n'est pas de dérivée nulle ici, c'est sa primitive qu'on cherche. Une constante $k$ a pour primitive $kx$ — ce qui se contrôle en dérivant : $(5x)'=5$ ✓.

Dérive ta réponse : tu dois retrouver $f$.

✓

👉 C'est le seul chapitre où le contrôle est aussi simple que le calcul lui-même. Il n'y a donc aucune raison de s'en passer, jamais : une primitive fausse se détecte en dix secondes.

Note au passage que le $C$ disparaît à la dérivation — ce qui confirme que n'importe quelle valeur convient.

⚠️ Oublier le $+C$. Ce n'est pas un détail de forme : $f$ a une infinité de primitives (pas 2), et écrire « la » primitive sans $C$, c'est en désigner une seule sans le dire.

⚠️ Dériver au lieu d'intégrer — l'erreur de sens. Devant $3x^2$, écrire $6x$ au lieu de $x^3$. Le contrôle l'attrape immédiatement : $(6x)'=6\neq3x^2$.

Le repère qui évite la confusion : en intégrant, les exposants MONTENT ; en dérivant, ils descendent. Si ton résultat a des exposants plus petits que ceux de départ, tu as dérivé.

⚠️ Oublier de diviser et écrire $x^3$ pour $x^2$ (au lieu de $\frac{x^3}{3}$). La division par le nouvel exposant compense le facteur que la dérivation ferait apparaître.

⚠️ Écrire $\frac{3x^3}{3}$ sans simplifier. Ce n'est pas faux, mais une réponse se rend simplifiée.

Une primitive se vérifie toujours en la dérivant. C'est gratuit, c'est infaillible, et ça transforme un chapitre où l'on doute en un chapitre où l'on sait.

Et $+C$ fait partie de la réponse : il traduit le fait qu'ajouter une constante ne change aucune pente — le même fait qui, au chapitre Dérivation, faisait disparaître les constantes.

Forme $u'u^n$ : avec $u=1+x^2$, que vaut $u'$ ?

$u'=2x$ ; ajuste le facteur $\tfrac12$.

Primitive de $u'u^5$ : $\dfrac{u^6}{6}$.

Aucune formule ne donne la primitive de $x(1+x^2)^5$ directement, et développer la puissance $5$ serait absurde : on obtiendrait un polynôme de degré $11$, à intégrer terme à terme, avec onze occasions de se tromper.

Le bon réflexe : chercher si l'intégrande a la forme $u'u^n$. Ici, si $u=1+x^2$ alors $u'=2x$ — et le $x$ devant est presque ce $u'$, au facteur $\frac12$ près.

Avant de chercher une astuce, teste ces trois patrons. Ils règlent la grande majorité des intégrales du programme, et ils se reconnaissent au même geste : repérer un $u$ dont la dérivée est présente en facteur.

👉 La méthode, en deux questions :

1. Quelle est la fonction « intérieure » ? → c'est $u$.
2. Sa dérivée $u'$ est-elle présente en facteur ? → si oui, à une constante près, c'est gagné.

⚠️ « À une constante près » suffit — mais seulement une constante. Si ce qui manque dépend de $x$, aucune de ces formes ne s'applique.

Forme $u'u^n$

$$\int u'u^n\,\mathrm{d}x=\frac{u^{n+1}}{n+1}+C\qquad(n\neq-1)$$

C'est la formule des puissances, où $x$ est remplacé par $u$ — à condition que le facteur $u'$ soit présent, quitte à l'ajuster par une constante.

$u=1+x^2$ donne $u'=2x$.

L'intégrande porte $x$, et $x=\frac12\times 2x=\frac12 u'$. Donc

La règle sûre pour ne pas se tromper de sens : écris l'intégrande en fonction de $u'$, jamais l'inverse. Ici « $x$ vaut la moitié de $u'$ », donc le facteur $\frac12$ apparaît tout seul — pas besoin de deviner s'il faut multiplier ou diviser.

On calcule les valeurs de $u$ aux bornes : $u(0)=1+0=1$ et $u(1)=1+1=2$.

⚠️ On a laissé les crochets en $x$, donc les bornes restent $0$ et $1$. C'est cohérent — voir le piège ci-dessous.

Par dérivation :

✓

Par ordre de grandeur : sur $[0;1]$, l'intégrande vaut $0$ en $x=0$ et $1\times2^5=32$ en $x=1$. Une intégrale sur un intervalle de longueur $1$ d'une fonction montant de $0$ à $32$ doit tomber entre $0$ et $32$ — et plutôt dans le bas, la fonction restant petite sur la majeure partie. On trouve $5{,}25$ ✓, parfaitement plausible.

⚠️ Ajuster la constante dans le mauvais sens : multiplier par $2$ au lieu de $\frac12$, ce qui donnerait $21$ au lieu de $5{,}25$. La parade est au pas 4 — écris l'intégrande en fonction de $u'$.

⚠️ Développer $(1+x^2)^5$. Ce n'est pas faux, c'est ruineux : degré $11$, onze intégrations, et le résultat est le même. Devant une puissance composée, cherche $u'$ AVANT de développer.

⚠️ Oublier de changer les bornes si l'on passe en $u$. Ici on est resté en $x$, donc $0$ et $1$ sont les bonnes. Mais si tu écris $\int_0^1 u^5\,\mathrm{d}u$, c'est faux : en $u$, les bornes seraient $1$ et $2$. Le détail est traité à l'exercice A6.

⚠️ Croire que $\int u'u^5 = u'\times\frac{u^6}{6}$, c'est-à-dire garder le $u'$. Non : il est consommé par l'intégration, exactement comme il était produit par la dérivation.

Devant une puissance composée, cherche $u'$ avant de développer.

Les trois formes du pas 2 couvrent l'essentiel du chapitre, et dans les trois la seule difficulté est la même : repérer $u$, vérifier que $u'$ est là, ajuster la constante. Une fois ce geste automatique, la moitié du chapitre devient mécanique.

Forme $\dfrac{u'}{u}$ : identifie $u$ et $u'$.

$u=x^2+1$, $u'=2x$ — exactement le numérateur.

Primitive de $\dfrac{u'}{u}$ : $\ln|u|$.

Un quotient dont le numérateur est exactement la dérivée du dénominateur : $u=x^2+1$ donne $u'=2x$, et $2x$ est bien ce qu'il y a en haut.

C'est la forme $\frac{u'}{u}$, dont la primitive est le logarithme. Ici, aucun ajustement de constante n'est même nécessaire — c'est le cas le plus simple des trois formes.

Forme $u'/u$

$$\int\frac{u'}{u}\,\mathrm{d}x=\ln\lvert u\rvert+C$$

La valeur absolue est là parce que $\ln$ n'existe que sur les nombres strictement positifs. Quand on sait que $u>0$ partout sur l'intervalle, on peut l'omettre.

D'où vient cette formule ? Du chapitre Dérivation : $\big(\ln u\big)'=\frac{u'}{u}$. On lit simplement la même égalité dans l'autre sens — comme toujours dans ce chapitre.

$u=x^2+1$, donc $u'=2x$ : l'intégrande $\dfrac{2x}{x^2+1}$ est exactement $\dfrac{u'}{u}$, sans facteur à ajuster.

Et $x^2+1\geq1>0$ pour tout réel : le dénominateur ne s'annule jamais et reste positif, donc pas de valeur absolue à garder.

C'est la variante la plus fréquente aux examens, et elle se traite en ajustant une constante — exactement comme au A2.

⚠️ La dernière ligne est le piège : $\frac{1}{x^2+1}$ ressemble aux autres et n'a rien à voir. Sa primitive est $\arctan x$, hors programme ici — et aucun ajustement de constante ne peut la ramener à la forme $\frac{u'}{u}$, puisque ce qui manque ($2x$) dépend de $x$.

👉 Le test qui tranche : dérive le dénominateur, et compare au numérateur. S'ils sont proportionnels, c'est un $\ln$. Sinon, non.

✓

La dérivée d'un $\ln$ composé redonne bien $\frac{u'}{u}$ — le contrôle boucle sur la formule qui a servi.

⚠️ Traiter le quotient morceau par morceau et répondre $\frac{2x}{\ln(x^2+1)}$, ou $2x\ln(x^2+1)$, ou $\frac{x^2}{\ln(x^2+1)}$. Une primitive ne se distribue pas sur un quotient, pas plus qu'elle ne se distribue sur un produit. Il n'existe aucune formule du type « primitive d'un quotient ».

⚠️ Oublier la valeur absolue quand $u$ peut être négatif. Ici c'est justifié de l'omettre, mais sur $\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x$ la réponse est $\ln\lvert x\rvert$ : sans la valeur absolue, la primitive est fausse sur $]-\infty;0[$, où $\ln x$ n'existe même pas.

⚠️ Appliquer la formule à $\frac{1}{x^2+1}$ parce que « ça ressemble ». Le test du pas 5 le refuse : $(x^2+1)'=2x$, qui n'est pas proportionnel à $1$.

⚠️ Écrire $\ln(x)^2+1$ ou $\ln(x^2)+1$ au lieu de $\ln(x^2+1)$. Les parenthèses ne sont pas décoratives : ces trois expressions sont trois fonctions différentes.

Dès qu'une fraction a le numérateur proportionnel à la dérivée du dénominateur, pense $\ln$. Le test coûte trois secondes : dérive le bas, compare au haut.

Et n'oublie pas la valeur absolue par défaut — tu ne la retires que si tu as vérifié que $u>0$ sur l'intervalle de travail.

Forme $u'e^u$ : pose $u=x^2$.

$u'=2x$ ; ajuste le facteur $\tfrac12$.

Primitive de $u'e^u$ : $e^u$.

L'exposant est $x^2$ et non $x$, donc $e^{x^2}$ n'a pas de primitive « évidente ». Et de fait — c'est le point remarquable de cet exercice — $e^{x^2}$ seule n'a aucune primitive qui s'exprime avec les fonctions usuelles.

Ce qui sauve l'exercice, c'est le facteur $x$ devant : il est proportionnel à la dérivée de l'exposant. On est donc dans la forme $u'e^u$.

Forme $u'e^u$

$$\int u'e^u\,\mathrm{d}x=e^u+C$$

L'exponentielle se recopie ; c'est la présence de $u'$ qui rend l'intégration immédiate. Sans elle, cette forme ne s'applique pas.

Là encore, c'est la lecture inverse d'une dérivée du chapitre précédent : $\big(e^u\big)'=u'e^u$.

$u=x^2$ donne $u'=2x$. L'intégrande porte $x$, soit $\frac12 u'$ :

C'est important à savoir, parce que ça évite de chercher pendant vingt minutes une formule qui n'existe pas.

Toute fonction continue admet des primitives — ce n'est pas l'existence qui pose problème. Ce qui manque, c'est une écriture : la primitive de $e^{x^2}$ ne se met pas sous forme d'une combinaison finie de puissances, exponentielles, logarithmes et fonctions trigonométriques. C'est un théorème (Liouville), pas une lacune du programme.

D'autres exemples de la même famille : $\dfrac{\sin x}{x}$, $\dfrac{1}{\ln x}$, $e^{-x^2}$ (celle-ci est centrale en probabilités, où on la note $\Phi$ après l'avoir tabulée).

👉 Conséquence pratique : si un énoncé te demande $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ sans facteur $x$, c'est que tu as mal lu — ou qu'on attend autre chose (un encadrement, une valeur approchée, une série). Ne cherche pas.

⚠️ Et mesure ce que tient à un simple facteur : $\int x\,e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ se fait en trois lignes, $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ est impossible à écrire. Un facteur $x$ sépare l'exercice de terminale du théorème de Liouville.

✓

Contrôle numérique en $x=1$ : la dérivée y vaut $1\times e^{1}\approx2{,}718$, et la formule $\frac12\times2\times e\approx2{,}718$ ✓.

⚠️ Répondre $e^{x^2}$ sans le $\frac12$. Le contrôle par dérivation le refuse : on obtiendrait $2x\,e^{x^2}$, deux fois trop.

⚠️ Répondre $\frac{x^2}{2}e^{x^2}$, en « intégrant » le $x$ séparément et en recopiant l'exponentielle. Les facteurs d'un produit ne s'intègrent pas indépendamment — il n'existe aucune formule de ce genre, exactement comme $(uv)'\neq u'v'$ côté dérivation.

⚠️ Dériver l'exposant et répondre $\frac12 e^{2x}$. L'exposant se recopie à l'identique ; c'est son $u'$ qui a été consommé.

⚠️ Croire qu'on saurait faire $\int e^{x^2}\,\mathrm{d}x$ — voir le pas 5.

Une exponentielle composée ne s'intègre à vue (par la forme $u'e^u$) que si la dérivée de son exposant est présente en facteur, à une constante près.

Ce détail décide ici entre un exercice de trois lignes et un problème sans solution élémentaire — c'est le meilleur exemple, dans tout le programme, de ce que la présence d'un seul facteur peut changer.

$f\geq0$ sur $[0;2]$ : aire $=\int_0^2 f$.

Primitive de $x^2$ ?

Évalue entre les bornes.

« Aire » et « intégrale » ne sont pas synonymes : l'intégrale compte les parties situées sous l'axe négativement. Les deux ne coïncident que là où la fonction est positive.

Ici $f(x)=x^2\geq0$ sur $[0;2]$, donc l'aire est l'intégrale. C'est ce qu'il faut vérifier — et écrire — avant de calculer quoi que ce soit.

L'idée tient en une image, et elle explique tout le reste du chapitre.

Pour mesurer l'aire sous une courbe, on la découpe en rectangles verticaux très fins. Chacun a pour largeur un petit $\mathrm{d}x$ et pour hauteur $f(x)$ : son aire vaut donc $f(x)\,\mathrm{d}x$. L'intégrale $\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$ est la somme de tous ces rectangles quand on les rend infiniment fins.

👉 Le symbole $\int$ est d'ailleurs un S allongé, pour « somme ». Et le $\mathrm{d}x$ n'est pas décoratif : il dit selon quelle variable on découpe, et il porte la largeur des rectangles.

⚠️ Et voilà pourquoi le signe compte. Si $f(x)$ est négative, la « hauteur » $f(x)$ l'est aussi, donc le rectangle compte négativement. L'intégrale d'une fonction négative est négative — alors qu'une aire, elle, est toujours positive.

Sur un intervalle où $f$ change de signe, l'intégrale rend donc la différence « aire au-dessus $-$ aire en dessous », et non l'aire totale. C'est tout l'objet de l'exercice B5.

Aire sous une courbe Si $f\geq0$ sur $[a;b]$, l'aire entre $\mathcal{C}_f$, l'axe des abscisses et les droites $x=a$, $x=b$ vaut

$$\mathcal{A}=\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

Elle s'exprime en unités d'aire (u.a.) : une u.a. est l'aire du rectangle bâti sur les deux unités des axes.

$f(x)=x^2$ est un carré, donc $f(x)\geq0$ pour tout réel, en particulier sur $[0;2]$. L'hypothèse du théorème est satisfaite :

Une primitive de $x^2$ est $\dfrac{x^3}{3}$ (on monte l'exposant, on divise par le nouveau).

⚠️ Les crochets $[\;]_a^b$ signifient « valeur en $b$ moins valeur en $a$ ». L'ordre compte : l'inverser change le signe du résultat.

ℹ️ Le $+C$ disparaît dans une intégrale définie : il s'ajoute aux deux bornes et se soustrait de lui-même. C'est pourquoi on ne l'écrit pas ici.

Contrôle 1 — l'encadrement par un rectangle. Le domaine est entièrement contenu dans le rectangle $[0;2]\times[0;4]$ (car $f(2)=4$ est le maximum sur l'intervalle), dont l'aire vaut $2\times4=8$.

On trouve $\frac83\approx2{,}67$, bien inférieur à $8$ ✓. Un résultat supérieur à $8$ signalerait une erreur sans qu'on ait à refaire le calcul.

On peut même serrer : la courbe est nettement en dessous de la diagonale du rectangle, donc l'aire doit valoir moins que la moitié de $8$. $2{,}67<4$ ✓.

Contrôle 2 — la somme de rectangles. En découpant $[0;2]$ en $1000$ rectangles et en sommant, on obtient $2{,}6707$ — à comparer à $\frac83=2{,}6667$ ✓. C'est exactement l'image du pas 2, calculée pour de vrai.

⚠️ Appliquer la formule sans vérifier le signe de $f$. Sur un intervalle où la courbe passe sous l'axe, l'intégrale rend un nombre plus petit que l'aire, voire négatif. La phrase « $f\geq0$ sur $[a;b]$ » n'est pas du remplissage : c'est ce qui autorise le calcul.

⚠️ Inverser les bornes et écrire $\frac{0^3}{3}-\frac{2^3}{3}=-\frac83$. Une aire négative n'existe pas — si tu en trouves une, tu as inversé.

⚠️ Oublier de soustraire la borne inférieure. Ici elle donne $0$, donc l'oubli est invisible ; il ne le sera pas au prochain exercice. Prends l'habitude d'écrire les deux termes.

⚠️ Répondre $2{,}67$ sans dire « u.a. ». Une aire a une unité. Et si l'énoncé demandait la valeur exacte, $\frac83$ est la réponse, pas son écriture décimale.

Avant toute aire : vérifier le signe de la fonction sur l'intervalle, et l'écrire.

Et prends l'habitude d'encadrer le résultat par un rectangle — largeur de l'intervalle × hauteur maximale. C'est un contrôle gratuit, qui ne demande aucun calcul et qui attrape les erreurs d'ordre de grandeur par excès.

Pose $u=1+\sin x$ ; calcule $du$.

$du=\cos x\,dx$ — exactement le reste.

Change aussi les bornes.

L'énoncé donne le changement de variable, donc le travail n'est pas de le trouver mais de l'appliquer complètement.

Et c'est là que ça se joue : un changement de variable touche trois choses — l'intégrande, le $\mathrm{d}x$, et les bornes. Oublier les bornes est l'erreur qui coûte le plus cher dans tout le chapitre, parce qu'elle produit un résultat faux mais plausible.

Changement de variable dans une intégrale définie

$$\int_a^b f\big(u(x)\big)\,u'(x)\,\mathrm{d}x=\int_{u(a)}^{u(b)} f(u)\,\mathrm{d}u$$

Les nouvelles bornes sont les images des anciennes par $u$. Une fois passé en $u$, il ne doit plus rester aucun $x$ — ni dans l'intégrande, ni dans les bornes.

👉 Le repère qui évite l'oubli : quand la variable change, tout ce qui la concerne change. Les bornes sont des valeurs de $x$ ; en $u$, ce ne sont plus les mêmes nombres.

$u=1+\sin x$ donne, en dérivant :

Or l'intégrande s'écrit $\underbrace{(1+\sin x)^3}_{u^3}\times\underbrace{\cos x\,\mathrm{d}x}_{\mathrm{d}u}$ : le $\cos x\,\mathrm{d}x$ est entièrement absorbé par le $\mathrm{d}u$.

C'est le signe qu'on a choisi le bon $u$ : il ne reste aucun $x$ orphelin.

On calcule l'image de chaque borne par $u$ :

⚠️ Cette étape n'est pas facultative. C'est elle qu'on oublie, et l'oubli ne se voit pas dans le résultat.

C'est le meilleur contrôle possible, parce qu'il n'emprunte aucune étape du calcul précédent.

L'intégrande est de la forme $u'u^3$ (avec $u=1+\sin x$, $u'=\cos x$), donc une primitive est $\dfrac{(1+\sin x)^4}{4}$ — on reste en $x$, donc les bornes restent $0$ et $\frac\pi2$ :

✓

Même résultat, deux chemins indépendants. C'est la meilleure preuve qu'on puisse produire sur un calcul d'intégrale.

👉 Et retiens la conséquence pratique : tout changement de variable de ce type peut aussi se traiter comme une forme $u'u^n$, sans rien substituer. Si le changement de variable te gêne, tu as toujours cette voie — et si tu l'as fait, tu as toujours ce contrôle.

⚠️ Changer la variable sans changer les bornes, et calculer $\int_0^{\pi/2}u^3\,\mathrm{d}u$.

On obtiendrait $\dfrac{(\pi/2)^4}{4}\approx1{,}52$ au lieu de $3{,}75$. Le résultat est faux mais parfaitement plausible — c'est un nombre positif, du bon ordre de grandeur, sans rien d'alarmant. Il ne sera donc détecté par aucune relecture, seulement par le recoupement du pas 6.

⚠️ Laisser un $x$ dans l'intégrale en $u$. Si après substitution il reste un $\sin x$ ou un $\cos x$, c'est que $u$ n'était pas le bon, ou que la substitution est incomplète. Une intégrale en $u$ ne parle que de $u$.

⚠️ Écrire $\mathrm{d}u=\cos x$ au lieu de $\mathrm{d}u=\cos x\,\mathrm{d}x$. Le $\mathrm{d}x$ ne disparaît pas, il est remplacé.

⚠️ Se tromper de sens et poser $x=\ldots$ en fonction de $u$ alors que la relation donnée va dans l'autre sens. Ici $u$ s'exprime simplement à partir de $x$ : on suit ce sens-là.

Un changement de variable, c'est trois substitutions : l'expression, le $\mathrm{d}x$, et les bornes. Compte-les à chaque fois.

Et garde en tête que les deux méthodes — substitution et reconnaissance de $u'u^n$ — donnent le même résultat par des chemins disjoints. Elles se contrôlent mutuellement, gratuitement.

Intégrale d'une somme = somme des intégrales.

Sors les constantes.

Primitives de $e^x$ et de $x$.

Rien de composé ici : c'est une somme de deux fonctions dont on connaît les primitives par cœur. La seule chose à savoir est que l'intégration est linéaire — elle traverse les sommes et sort les constantes.

C'est l'exercice qui installe le réflexe : découper avant de calculer.

Une opération est linéaire quand elle traverse deux choses, et deux seulement :

• les sommes : $\int(f+g)=\int f+\int g$
• les constantes multiplicatives : $\int 3f=3\int f$

C'est tout. Et c'est exactement la même liste que pour la dérivation, qui est linéaire elle aussi.

⚠️ Ce qui n'est PAS dans la liste, et c'est là que se jouent la moitié des fautes du chapitre :

👉 Contre-exemple d'une ligne : $\int_0^1 x\cdot x\,\mathrm{d}x=\int_0^1x^2=\frac13$, tandis que $\big(\int_0^1 x\big)^2=\big(\frac12\big)^2=\frac14$. Un tiers n'est pas un quart.

C'est précisément parce que l'intégrale ne traverse pas les produits que l'intégration par parties existe.

Linéarité de l'intégrale

$$\int_a^b\big(\alpha f+\beta g\big)=\alpha\int_a^b f+\beta\int_a^b g$$

Les deux primitives utiles ici

$$\int e^x\,\mathrm{d}x=e^x+C\qquad \int x\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+C$$

L'exponentielle est sa propre primitive — la seule fonction usuelle dans ce cas, exactement comme elle est sa propre dérivée.

⚠️ $e^0=1$, pas $0$. C'est la faute la plus fréquente sur cette intégrale, et elle donnerait $e$ au lieu de $e-1$.

Numériquement : $3e\approx8{,}155$, donc $I\approx4{,}155$.

⚠️ Le calcul $-2\times\frac12=-1$ (pas $-\frac12$) : le facteur $2$ se multiplie au résultat de l'intégrale, il ne s'y ajoute pas.

Par le signe. Sur $[0;1]$, $3e^x\geq3e^0=3$ et $2x\leq2$, donc l'intégrande $3e^x-2x\geq1>0$ partout. L'intégrale doit être positive ✓ — on trouve $4{,}155$.

Par encadrement. L'intégrande vaut $3$ en $x=0$ et $3e-2\approx6{,}15$ en $x=1$, en croissant. Sur un intervalle de longueur $1$, l'intégrale doit donc être entre $3$ et $6{,}15$. On trouve $4{,}155$ ✓ — dans la fourchette, et plutôt dans le bas, ce qui est cohérent avec une croissance exponentielle qui s'emballe surtout à la fin.

⚠️ Croire que l'intégrale traverse les produits ou les quotients. C'est l'erreur de fond du chapitre, réfutée au pas 2 par un contre-exemple d'une ligne.

⚠️ Perdre un facteur en cours de route : écrire $-\frac12$ au lieu de $-1$, ou oublier le $3$ devant $(e-1)$.

⚠️ Écrire $e^0=0$. Toute puissance d'exposant nul vaut $1$.

⚠️ Répondre $4{,}155$ quand la valeur exacte est demandée. $3e-4$ est la réponse ; $e$ étant irrationnel, toute écriture décimale est approchée.

⚠️ Oublier le $\mathrm{d}x$. Il n'est pas décoratif : il indique la variable d'intégration, ce qui compte dès qu'une autre lettre apparaît dans l'énoncé (un paramètre, par exemple).

La linéarité vaut pour les sommes et les constantes multiplicatives, jamais pour les produits ni les quotients.

C'est la distinction qui organise tout le chapitre : ce qui est linéaire se découpe et se calcule tout de suite ; le reste demande une technique — forme composée reconnue, intégration par parties, ou linéarisation trigonométrique.

Chasles : $\int_0^3 f=\int_0^1 f+\int_1^3 f$.

Isole l'intégrale cherchée.

Pas besoin de connaître $f$.

On ne connaît pas $f$, et on n'en a pas besoin : la relation de Chasles ne porte que sur les bornes.

L'énoncé donne l'intégrale sur $[0;3]$ et sur $[0;1]$ ; l'intervalle cherché $[1;3]$ est exactement ce qui reste. C'est une soustraction, pas un calcul d'intégrale.

Reprends l'image des rectangles : $\int_0^3 f$ est la somme de tous les rectangles entre $0$ et $3$.

Si l'on coupe cet empilement en $x=1$, on obtient deux paquets — ceux de $0$ à $1$, et ceux de $1$ à $3$. La somme totale est la somme des deux paquets. C'est tout ce que dit Chasles.

👉 Et c'est pour cette raison que la relation reste vraie même si $f$ change de signe : les rectangles négatifs se répartissent dans l'un ou l'autre paquet, sans rien changer à l'addition.

⚠️ Elle vaut même pour un point de coupe hors de l'intervalle — par exemple $\int_0^3=\int_0^5+\int_5^3$ — à condition que $f$ soit intégrable sur l'intervalle englobant. C'est cohérent parce que $\int_5^3=-\int_3^5$ : inverser les bornes change le signe.

Relation de Chasles

$$\int_a^c f=\int_a^b f+\int_b^c f$$

Elle vaut pour tout $b$, y compris hors de $[a;c]$, si $f$ est intégrable sur l'intervalle englobant.

Inversion des bornes

$$\int_b^a f=-\int_a^b f\qquad\text{et}\qquad\int_a^a f=0$$

En coupant $[0;3]$ au point $b=1$ :

On isole le terme cherché :

Recompose. Les deux morceaux doivent redonner le tout :

✓

Avec la réponse fautive $-5$, on obtiendrait $2+(-5)=-3\neq7$ : le contrôle la refuse immédiatement.

Contrôle de plausibilité : $[1;3]$ est deux fois plus large que $[0;1]$, et la contribution y est $5$ contre $2$ — un rapport de $2{,}5$, cohérent. Rien d'alarmant.

⚠️ Soustraire dans le mauvais sens et répondre $2-7=-5$. Le repère : $[1;3]$ est un morceau de $[0;3]$, donc on retire du tout le morceau connu — pas l'inverse. Le contrôle du pas 6 tranche en deux secondes.

⚠️ Croire qu'il faut trouver $f$. Aucune fonction n'est déterminée de façon unique par ces deux conditions, et ce n'est pas la question : Chasles est une propriété des bornes, pas de la fonction.

⚠️ Additionner au lieu de soustraire et répondre $9$. Le contrôle : $2+9=11\neq7$.

⚠️ Croire que Chasles exige $a<b<c$. Non — voir le pas 2. La relation tient dans tous les cas, grâce à la règle d'inversion des bornes.

Chasles sert dès qu'on découpe ou recolle des intervalles, sans jamais toucher à la fonction.

Et le contrôle est toujours le même, gratuit : les morceaux doivent redonner le tout. Il resservira à l'exercice B5, où l'on découpe aux zéros de $f$ pour calculer une vraie aire.

Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$.

Calcule d'abord l'intégrale.

Divise par la longueur de l'intervalle.

La valeur moyenne n'est pas la moyenne de $f(a)$ et $f(b)$ : c'est la hauteur du rectangle qui aurait la même aire que celle sous la courbe, sur le même intervalle.

D'où la formule : on calcule l'aire, puis on la répartit sur la largeur.

Imagine l'aire sous la courbe comme du sable versé entre $a$ et $b$. Si tu aplanis le tas pour qu'il ait partout la même hauteur, cette hauteur est la valeur moyenne.

👉 Pourquoi ce n'est PAS la moyenne des valeurs aux bornes. Une moyenne de deux nombres suppose qu'ils comptent autant l'un que l'autre. Ici, la fonction prend toutes les valeurs intermédiaires, et elle y passe des durées différentes.

Sur $[0;3]$, $x^2$ reste longtemps petit (elle vaut moins de $2{,}25$ sur toute la première moitié) et ne monte à $9$ qu'au tout dernier moment. La moyenne est donc tirée vers le bas — c'est pour ça qu'on trouve $3$ et non $4{,}5$.

⚠️ Conséquence utile : $\mu$ est toujours comprise entre le minimum et le maximum de $f$ sur l'intervalle. C'est un contrôle gratuit.

Valeur moyenne sur $[a;b]$

$$\mu=\frac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,\mathrm{d}x$$

C'est la hauteur du rectangle de base $[a;b]$ ayant la même aire que le domaine sous $\mathcal{C}_f$.