Exercices corrigés — Intégrales & primitives

Primitive terme à terme (linéarité).

Pour $x^n$, la primitive est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

N'oublie pas la constante $+C$.

$3x^2\to x^3$ ; $-4x\to-2x^2$ ; $5\to5x$.

$F(x)=x^3-2x^2+5x+C$.

Forme $u'u^n$ : avec $u=1+x^2$, que vaut $u'$ ?

$u'=2x$ ; ajuste le facteur $\tfrac12$.

Primitive de $u'u^5$ : $\dfrac{u^6}{6}$.

$u=1+x^2$, $u'=2x$ ; $x(1+x^2)^5=\tfrac12 u'u^5$.

$\tfrac12\cdot\dfrac{u^6}{6}=\dfrac{(1+x^2)^6}{12}$.

$\left[\dfrac{(1+x^2)^6}{12}\right]_0^1=\dfrac{64-1}{12}=\dfrac{21}{4}$.

Forme $\dfrac{u'}{u}$ : identifie $u$ et $u'$.

$u=x^2+1$, $u'=2x$ — exactement le numérateur.

Primitive de $\dfrac{u'}{u}$ : $\ln|u|$.

$u=x^2+1$ ($>0$), $u'=2x$ : $f=\dfrac{u'}{u}$.

$F(x)=\ln(x^2+1)+C$.

Forme $u'e^u$ : pose $u=x^2$.

$u'=2x$ ; ajuste le facteur $\tfrac12$.

Primitive de $u'e^u$ : $e^u$.

$u=x^2$, $u'=2x$ ; $x\,e^{x^2}=\tfrac12 u'e^u$.

$F(x)=\tfrac12 e^{x^2}+C$.

$f\geq0$ sur $[0;2]$ : aire $=\int_0^2 f$.

Primitive de $x^2$ ?

Évalue entre les bornes.

$f\geq0$ sur $[0;2]$, aire $=\displaystyle\int_0^2 x^2\,dx$.

$\dfrac{x^3}{3}$.

$\left[\dfrac{x^3}{3}\right]_0^2=\dfrac{8}{3}$.

Pose $u=1+\sin x$ ; calcule $du$.

$du=\cos x\,dx$ — exactement le reste.

Change aussi les bornes.

$u=1+\sin x$, $du=\cos x\,dx$.

$x=0\Rightarrow u=1$ ; $x=\tfrac{\pi}{2}\Rightarrow u=2$.

$I=\displaystyle\int_1^2 u^3\,du$.

$\left[\dfrac{u^4}{4}\right]_1^2=\dfrac{16-1}{4}=\dfrac{15}{4}$.

Intégrale d'une somme = somme des intégrales.

Sors les constantes.

Primitives de $e^x$ et de $x$.

$I=3\displaystyle\int_0^1 e^x\,dx-2\int_0^1 x\,dx$.

$\int_0^1 e^x=e-1$ ; $\int_0^1 x=\tfrac12$.

$I=3(e-1)-1=3e-4$.

Chasles : $\int_0^3 f=\int_0^1 f+\int_1^3 f$.

Isole l'intégrale cherchée.

Pas besoin de connaître $f$.

$\displaystyle\int_0^3 f=\int_0^1 f+\int_1^3 f$.

$\displaystyle\int_1^3 f=\int_0^3 f-\int_0^1 f$.

$=7-2=5$.

Valeur moyenne : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$.

Calcule d'abord l'intégrale.

Divise par la longueur de l'intervalle.

$\mu=\dfrac{1}{3}\displaystyle\int_0^3 x^2\,dx$.

$\int_0^3 x^2=\left[\tfrac{x^3}{3}\right]_0^3=9$.

$\mu=\tfrac13\times9=3$.

Trouve les intersections : $f(x)=g(x)$.

Détermine quelle courbe est au-dessus.

Aire $=\displaystyle\int_a^b(\text{dessus}-\text{dessous})$.

$2x-x^2=x^2\iff 2x(1-x)=0\iff x=0$ ou $x=1$.

En $x=\tfrac12$ : $f=\tfrac34>g=\tfrac14$, donc $f\geq g$ sur $[0;1]$.

Aire $=\displaystyle\int_0^1(2x-2x^2)\,dx$.

$\left[x^2-\tfrac{2x^3}{3}\right]_0^1=1-\tfrac23=\dfrac13$.

Calcule l'intégrale normalement.

Le résultat est négatif : pourquoi ?

Sur $[0;2]$, quel est le signe de $x-2$ ?

$\dfrac{x^2}{2}-2x$.

$\left[\tfrac{x^2}{2}-2x\right]_0^2=(2-4)-0=-2$.

$x-2\leq0$ sur $[0;2]$ : intégrale négative ; l'aire (valeur absolue) vaut $2$.

Avant de calculer une primitive, vérifie que l'intégrande est définie sur TOUT l'intervalle.

Où s'annule $3x+2$ ?

$3x+2=0\iff x=-\tfrac23$ : est-ce dans $[-1;1]$ ?

$3x+2=0\iff x=-\tfrac23\in[-1;1]$ : l'intégrande n'est pas définie en $-\tfrac23$.

$\dfrac{2}{(3x+2)^2}\to+\infty$ près de $-\tfrac23$ : l'intégrale diverge.

Primitive terme à terme : pour $x^n$, la primitive est $\dfrac{x^{n+1}}{n+1}$.

Théorème fondamental : $I=F(2)-F(0)$.

$6x^2\to 2x^3$ ; $2x\to x^2$ ; $-3\to-3x$.

$F(x)=2x^3+x^2-3x$ (à constante près).

$I=F(2)-F(0)=(16+4-6)-0=14$.

Forme $u'u^n$ : pose $u=x^2+x+1$ et calcule $u'$.

$u'=2x+1$ — exactement le facteur devant.

Primitive de $u'u^2$ : $\dfrac{u^3}{3}$.

$u=x^2+x+1$, $u'=2x+1$ : l'intégrande est $u'u^2$.

$\dfrac{u^3}{3}=\dfrac{(x^2+x+1)^3}{3}$.

$u(1)=3$, $u(0)=1$ : $I=\dfrac{3^3-1^3}{3}=\dfrac{26}{3}$.

Forme $\dfrac{u'}{u}$ : pose $u=x^3+2$.

$u'=3x^2$ — exactement le numérateur, et $u>0$ sur $[0;1]$.

Primitive de $\dfrac{u'}{u}$ : $\ln u$ ; utilise $\ln a-\ln b=\ln\tfrac{a}{b}$.

$u=x^3+2>0$ sur $[0;1]$, $u'=3x^2$ : $f=\dfrac{u'}{u}$.

$F(x)=\ln(x^3+2)$.

$I=\ln 3-\ln 2=\ln\dfrac{3}{2}$.

Forme $u'e^u$ : pose $u=x^2+x$.

$u'=2x+1$ — exactement le facteur devant l'exponentielle.

Primitive de $u'e^u$ : $e^u$ ; évalue aux bornes.

$u=x^2+x$, $u'=2x+1$ : l'intégrande est $u'e^u$.

$F(x)=e^{x^2+x}$.

$u(1)=2$, $u(0)=0$ : $I=e^2-e^0=e^2-1$.

Chasles : $\int_1^4 f=\int_1^2 f+\int_2^4 f$.

Valeur moyenne sur $[a;b]$ : $\mu=\dfrac{1}{b-a}\displaystyle\int_a^b f$.

$\displaystyle\int_1^4 f=\int_1^2 f+\int_2^4 f$.

$\displaystyle\int_2^4 f=10-3=7$.

$\mu=\dfrac{1}{4-2}\displaystyle\int_2^4 f=\dfrac{7}{2}$.

Trouve les intersections : résous $f(x)=g(x)$.

$x^2-x-2=(x+1)(x-2)$ : quelles sont les bornes ?

Détermine la courbe du dessus, puis aire $=\displaystyle\int_a^b(\text{dessus}-\text{dessous})$.

$x+2=x^2\iff x^2-x-2=0\iff(x+1)(x-2)=0\iff x=-1$ ou $x=2$.

En $x=0$ : $f(0)=2>g(0)=0$, donc $f\geq g$ sur $[-1;2]$.

Aire $=\displaystyle\int_{-1}^{2}(x+2-x^2)\,dx$.

$\left[\dfrac{x^2}{2}+2x-\dfrac{x^3}{3}\right]_{-1}^{2}=\dfrac{10}{3}-\left(-\dfrac{7}{6}\right)=\dfrac{9}{2}$.