Exercices corrigés — Intégrale de Lebesgue

Tribu : contient $\varnothing$, stable par complémentaire et réunion dénombrable.

Sur un ensemble fini, une tribu est engendrée par ses atomes (une partition).

$\#\text{partitions}(3)=B_3=5$ (nombre de Bell).

Une tribu (ou $\sigma$-algèbre) sur $\Omega$ est une famille $\mathcal{A}$ de parties de $\Omega$ telle que :

1. $\Omega\in\mathcal{A}$ ;
2. stabilité par complémentaire : $A\in\mathcal{A}\Rightarrow \Omega\setminus A\in\mathcal{A}$ ;
3. stabilité par réunion DÉNOMBRABLE : $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{A}\Rightarrow\bigcup_{n\geq 1}A_n\in\mathcal{A}$.

👉 Pourquoi ces trois-là. Ce sont exactement les opérations dont on a besoin pour mesurer : le tout, le contraire, et l'assemblage d'une infinité dénombrable de morceaux.

⚠️ Le mot « dénombrable » de l'axiome 3 est le cœur de la théorie. Avec des réunions quelconques, toute partie de $\mathbb{R}$ serait dans la tribu (chaque partie est réunion de ses points), et l'on retomberait sur la difficulté que Vitali exhibe en C3 : il n'existe alors aucune mesure raisonnable.

ℹ️ Deux conséquences immédiates : $\varnothing=\Omega\setminus\Omega\in\mathcal{A}$, et la stabilité par intersection dénombrable, par passage au complémentaire ($\bigcap A_n=\Omega\setminus\bigcup(\Omega\setminus A_n)$).

Énumérons-les, de la plus grossière à la plus fine :

Il y en a exactement $5$ ✓

👉 Pourquoi pas d'autres ? Chaque tribu doit contenir $\varnothing$ et $\Omega$, et être stable par complémentaire — donc ses éléments vont par paires $\{A,\Omega\setminus A\}$. Une famille comme $\{\varnothing,\{0\},\{1\},\Omega\}$ échoue : elle ne contient pas $\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$.

⚠️ Ne pas confondre : il y a $2^3=8$ parties, $2^8=256$ familles de parties, et seulement $5$ tribus.

👉 Sur un ensemble FINI, une tribu est entièrement déterminée par ses ATOMES — ses plus petits éléments non vides. Les atomes forment une partition de $\Omega$, et tout élément de la tribu est une réunion d'atomes.

La correspondance est bijective :

Le nombre de partitions d'un ensemble à $n$ éléments est le nombre de Bell $B_n$ :

Pour $n=3$ : $B_3=5$, ce qui confirme le comptage ✓

👉 Lecture du tableau ci-dessus : chaque ligne y est bien une partition — $\{0,1,2\}$ en un bloc, puis les trois découpages en $1+2$, puis les trois singletons. Il manquerait la partition en $\{0\},\{1\},\{2\}$ si l'on avait oublié $\mathcal{P}(\Omega)$.

ℹ️ Une tribu se lit donc comme une résolution d'observation : ses atomes sont ce qu'on ne peut pas distinguer plus finement. C'est cette lecture qui rend la notion utile en probabilités, où la tribu modélise l'information disponible.

⚠️ Toute cette description tombe sur $\mathbb{R}$. Les atomes de la tribu borélienne sont les singletons, mais elle ne se réduit pas aux réunions d'atomes : toute partie de $\mathbb{R}$ est réunion de ses points, et il existe des parties non boréliennes (voir ci-dessous).

👉 C'est pourquoi on ne peut pas lister les boréliens comme on liste les cinq tribus ci-dessus. On les définit par engendrement (A2) — la plus petite tribu contenant les intervalles — et non par énumération.

ℹ️ Ordre de grandeur, pour situer : il y a autant de boréliens que de réels ($2^{\aleph_0}$), mais strictement plus de parties de $\mathbb{R}$ ($2^{2^{\aleph_0}}$). Il existe donc des parties non boréliennes — et même, plus fort, des parties non Lebesgue-mesurables (C3).

Vérifier les trois axiomes sur $\bigcap_i\mathcal{A}_i$.

$\sigma(\mathcal{C})$ = plus petite tribu contenant $\mathcal{C}$ = intersection de toutes celles qui contiennent $\mathcal{C}$.

Boréliens = $\sigma(\text{ouverts})$.

Soit $(\mathcal{A}_i)_{i\in I}$ une famille quelconque de tribus sur $\Omega$ — $I$ peut être infini, voire non dénombrable. Posons $\mathcal{A}=\bigcap_{i\in I}\mathcal{A}_i$.

On vérifie les trois axiomes, et chacun se ramène au fait que la propriété vaut dans chaque $\mathcal{A}_i$ :

1. $\Omega\in\mathcal{A}_i$ pour tout $i$, donc $\Omega\in\mathcal{A}$ ✓

2. Si $A\in\mathcal{A}$, alors $A\in\mathcal{A}_i$ pour tout $i$, donc $\Omega\setminus A\in\mathcal{A}_i$ pour tout $i$, donc $\Omega\setminus A\in\mathcal{A}$ ✓

3. Si $A_1,A_2,\dots\in\mathcal{A}$, ils sont dans chaque $\mathcal{A}_i$, donc leur réunion aussi, donc elle est dans $\mathcal{A}$ ✓

$\blacksquare$

⚠️ Le résultat est FAUX pour la réunion. Sur $\{0,1,2\}$, réunissons deux tribus du tableau de A1 :

ne contient pas $\{0\}\cup\{1\}=\{0,1\}$ : ce n'est pas une tribu. L'intersection préserve, la réunion non — c'est vrai pour presque toutes les structures algébriques.

Le résultat précédent permet la définition suivante. Pour $\mathcal{C}$ une famille quelconque de parties :

👉 Trois points à comprendre :

1. L'intersection porte sur une famille non vide : $\mathcal{P}(\Omega)$ est toujours une tribu contenant $\mathcal{C}$. Sans cela l'intersection n'aurait pas de sens.
2. C'est une tribu, par ce qu'on vient de démontrer.
3. C'est la PLUS PETITE contenant $\mathcal{C}$ : toute tribu contenant $\mathcal{C}$ figure dans l'intersection, donc contient $\sigma(\mathcal{C})$.

⚠️ Cette définition ne dit pas quels sont les éléments de $\sigma(\mathcal{C})$. Elle est descendante — on ne construit rien, on intersecte tout ce qui convient. C'est ce qui la rend générale, et c'est aussi ce qui la rend abstraite : on ne peut pas « lister » $\sigma(\mathcal{C})$.

ℹ️ Pourquoi pas une définition ascendante ? On aimerait partir de $\mathcal{C}$ et fermer par complémentaires et réunions dénombrables. Mais il faut itérer ce procédé une infinité non dénombrable de fois ($\omega_1$ étapes) pour que ça se stabilise. La définition par intersection contourne cette difficulté d'un trait.

C'est la plus petite tribu contenant tous les ouverts. Elle contient donc, en cascade :

👉 La ligne $\mathbb{Q}$ est celle qui montre le rôle de l'axiome 3. Les rationnels sont dénombrables, donc leur réunion est licite ; c'est pour cela que $\mathbb{Q}$ est borélien alors qu'il n'est ni ouvert ni fermé.

ℹ️ Générateurs équivalents. On obtient la même tribu en partant des $]a,b[$, des $]-\infty,a]$, ou des fermés. Le plus commode est souvent $\{]-\infty,a],\ a\in\mathbb{Q}\}$ — une famille dénombrable, ce qui simplifie les preuves de mesurabilité.

⚠️ ADMIS ici : l'existence d'une mesure $\lambda$ sur $\mathcal{B}(\mathbb{R})$ prolongeant la longueur des intervalles. C'est le théorème de Carathéodory (C1), et il n'est pas trivial.

$\mu(A)=\sum$ des poids des atomes $\subseteq A$.

$\mu(\{0,1\})=\mu(\{0\})+\mu(\{1\})$.

$\sigma$-additivité : réunion disjointe dénombrable.

Une mesure sur $(\Omega,\mathcal{A})$ est une application $\mu:\mathcal{A}\to[0,+\infty]$ telle que :

1. $\mu(\varnothing)=0$ ;
2. $\sigma$-additivité : pour des $A_n$ deux à deux disjoints,

👉 Le second axiome est tout. L'additivité finie seule ne suffirait pas : c'est le passage à l'infini dénombrable qui donne les théorèmes de convergence (lot E) et qui distingue Lebesgue de Riemann.

⚠️ « Deux à deux disjoints » est indispensable. Sans cette hypothèse, $\mu(A\cup B)\leq\mu(A)+\mu(B)$ seulement — la sous-additivité, qui elle est toujours vraie.

Additivité finie. Cas particulier de la $\sigma$-additivité avec $A_3=A_4=\dots=\varnothing$.

Monotonie. Si $A\subseteq B$, on écrit $B=A\sqcup(B\setminus A)$, d'où

👉 La positivité de $\mu$ est ce qui fait marcher l'argument — une « mesure signée » n'est pas monotone.

Sous-additivité. Pour des $A_n$ quelconques, $\mu\big(\bigcup A_n\big)\leq\sum\mu(A_n)$ : on rend les morceaux disjoints en retirant ce qui précède, ce qui ne peut que diminuer chaque terme.

Différence. Si $A\subseteq B$ et $\mu(A)<\infty$ : $\mu(B\setminus A)=\mu(B)-\mu(A)$.

⚠️ L'hypothèse $\mu(A)<\infty$ n'est pas superflue : avec $\mu=\lambda$, $A=B=\mathbb{R}$, on écrirait $\infty-\infty$.

La tribu est $\mathcal{P}(\Omega)$, et par additivité finie il suffit de sommer :

👉 $\mu(\Omega)=1$ : c'est une PROBABILITÉ. Une mesure de masse totale $1$, rien de plus — et c'est exactement la définition d'une loi de probabilité.

Contrôles : la monotonie se lit sur le tableau ($\mu(\{0,1\})=\tfrac56\geq\mu(\{0\})=\tfrac12$ ✓), et l'additivité aussi ($\mu(\{0,1\})+\mu(\{2\})=\tfrac56+\tfrac16=1=\mu(\Omega)$ ✓).

👉 Tout le vocabulaire probabiliste est du vocabulaire de mesure, renommé :

👉 Ce n'est pas une analogie : ce sont les mêmes objets. C'est pourquoi la théorie de la mesure est le préalable aux probabilités modernes — et pourquoi le chapitre tcl s'appuie sur celui-ci.

ℹ️ Trois mesures à connaître, au-delà de cet exemple : la mesure de comptage ($\mu(A)=\operatorname{card}A$, qui rend les séries des intégrales), la mesure de Dirac $\delta_a$ ($1$ si $a\in A$, $0$ sinon), et la mesure de Lebesgue $\lambda$ (A5).

Négligeable : $\lambda(N)=0$ (recouvrement par des intervalles de longueur totale $<\varepsilon$).

$\lambda(\{x\})=0$ ; recouvrir le $n$-ième point par un intervalle de longueur $\varepsilon/2^n$.

$\mathbb{Q}$ est dénombrable.

Négligeable. $N\subseteq\Omega$ est $\mu$-négligeable s'il existe $A\in\mathcal{A}$ avec

⚠️ Pourquoi passer par un sur-ensemble $A$ ? Parce que $N$ lui-même n'est pas supposé mesurable. Cette précaution rend la notion utilisable même sur une tribu incomplète — et c'est elle qui motive la complétion de C2.

Presque partout. Une propriété est vraie p.p. si l'ensemble où elle est fausse est négligeable.

👉 C'est le concept qui donne à l'intégrale de Lebesgue sa souplesse : ce qui se passe sur un négligeable ne compte pas (B6).

Soit $D=\{x_1,x_2,x_3,\dots\}$ dénombrable. La preuve tient en un recouvrement bien choisi.

Fixons $\varepsilon>0$ et entourons chaque point d'un intervalle de plus en plus petit :

Alors $D\subseteq\bigcup_n I_n$, et par sous-additivité (A3) :

Ceci vaut pour tout $\varepsilon>0$, donc $\lambda(D)=0$. $\blacksquare$

👉 Le ressort est la série géométrique. On dispose d'un budget $\varepsilon$ et on le répartit en parts $\varepsilon/2^n$ dont la somme reste $\leq\varepsilon$. C'est le truc à retenir : il resservira partout où l'on recouvre un ensemble dénombrable.

⚠️ Et c'est exactement ici que « dénombrable » intervient. Sur une famille non dénombrable, on ne peut pas indexer par $n$ et la somme n'a plus de sens.

$\mathbb{Q}$ est dénombrable, donc

⚠️ C'est profondément contre-intuitif, et il faut s'y arrêter : $\mathbb{Q}$ est dense dans $\mathbb{R}$ — entre deux réels quelconques il y a une infinité de rationnels — et pourtant il est de mesure nulle.

👉 Densité et mesure sont deux notions indépendantes. La densité est topologique (on approche tout point), la mesure est métrique (on occupe de la place). $\mathbb{Q}$ est partout et n'occupe rien.

Conséquence immédiate sur $[0,1]$ :

Toute la masse de $[0,1]$ est portée par les irrationnels. C'est ce fait qui rend la fonction de Dirichlet intégrable au sens de Lebesgue (B4).

Négligeable n'implique pas dénombrable.

L'ensemble triadique de Cantor $K$ se construit en retirant de $[0,1]$ le tiers central, puis les tiers centraux des deux segments restants, et ainsi de suite. À l'étape $n$ il reste $2^n$ segments de longueur $3^{-n}$, donc

Et pourtant $K$ est non dénombrable — il a autant d'éléments que $\mathbb{R}$, car ses points sont exactement ceux qui admettent une écriture en base $3$ n'utilisant que les chiffres $0$ et $2$.

👉 La ligne du milieu est celle qui compte : « dénombrable » est une condition SUFFISANTE de négligeabilité, jamais nécessaire. Écrire l'implication à l'envers est l'erreur classique du chapitre.

ℹ️ On peut même construire, par le même procédé avec des tiers plus étroits, un « Cantor gras » qui est non dénombrable, d'intérieur vide, et de mesure $>0$.

$\lambda([a,b])=b-a$, indépendant des bornes ouvertes/fermées.

$\lambda(\{x\})=0$, $\lambda$(dénombrable)$=0$.

Cantor : retirer $\tfrac13$ à chaque étape.

La mesure de Lebesgue est caractérisée par une seule exigence :

Tout le reste s'en déduit par les axiomes de A3.

⚠️ ADMIS ici : qu'une telle mesure existe sur les boréliens, et qu'elle soit unique. C'est le théorème de Carathéodory (C1) ; on l'utilise, on ne le démontre pas à ce niveau.

$\lambda([2,5])=3$. Directement par la définition : $5-2=3$.

$\lambda(\{3\})=0$. Un point est un intervalle dégénéré $[3,3]$, de longueur $3-3=0$.

(Autre voie, plus instructive : $\{3\}\subseteq[3-\varepsilon,3+\varepsilon]$ pour tout $\varepsilon$, donc $\lambda(\{3\})\leq 2\varepsilon$ pour tout $\varepsilon>0$, donc $0$.)

$\lambda(]2,5[)=3$. On a $[2,5]=\{2\}\sqcup\,]2,5[\,\sqcup\{5\}$, donc par additivité

👉 Les bornes ne comptent pas : ouvert, fermé ou semi-ouvert, même mesure. C'est le premier signe que $\lambda$ ignore les négligeables.

$\lambda([0,1]\cap\mathbb{Q})=0$, car dénombrable (A4).

$\lambda([0,1]\setminus\mathbb{Q})=1$, par différence :

👉 Contrôle global : les deux dernières lignes doivent sommer à $\lambda([0,1])=1$. Elles le font ✓ C'est le réflexe à avoir chaque fois qu'on partitionne un ensemble.

1. Invariance par translation. $\lambda(A+t)=\lambda(A)$ pour tout réel $t$.

👉 C'est la propriété caractéristique : à normalisation près, $\lambda$ est l'unique mesure borélienne invariante par translation et finie sur les compacts. Et c'est exactement elle que la construction de Vitali (C3) met en contradiction avec la mesurabilité de toute partie.

2. Comportement par dilatation. $\lambda(cA)=\lvert c\rvert\,\lambda(A)$ — la mesure se comporte comme une longueur, pas comme un cardinal.

3. Une réunion dénombrable de négligeables est négligeable, par $\sigma$-sous-additivité.

⚠️ Faux pour une réunion quelconque : $[0,1]=\bigcup_{x\in[0,1]}\{x\}$ est une réunion de négligeables, et pourtant $\lambda([0,1])=1$. La réunion y est non dénombrable — c'est encore l'axiome 3 qui tranche.

ℹ️ Retenez cette dernière ligne : elle est le meilleur test de compréhension du chapitre. Si l'on croit que « réunion de négligeables est négligeable » sans restriction, on peut « démontrer » que tout est de mesure nulle.

$f$ mesurable : $f^{-1}(]a,+\infty[)\in\mathcal{A}$ pour tout $a$.

Un atome est le plus petit ensemble mesurable non vide le contenant.

Continue : préimage d'ouvert ouverte $\subseteq$ boréliens.

$f:(\Omega,\mathcal{A})\to(\mathbb{R},\mathcal{B})$ est mesurable si

👉 C'est la définition de la continuité, avec des tribus à la place des topologies : l'image réciproque d'un ensemble « bien vu » à l'arrivée doit être « bien vue » au départ.

⚠️ Image RÉCIPROQUE, jamais directe. L'image directe d'un mesurable n'a aucune raison d'être mesurable — c'est une source d'erreur classique. La raison est structurelle : $f^{-1}$ commute avec le complémentaire, la réunion et l'intersection ; $f$ ne commute qu'avec la réunion — ni avec le complémentaire, ni avec l'intersection.

Critère pratique, qui évite de tester tous les boréliens :

Il suffit en effet de le vérifier sur une famille génératrice de $\mathcal{B}(\mathbb{R})$, et les $]-\infty,a]$ en forment une (A2).

Soit $(\Omega,\mathcal{A})$ avec $\Omega$ fini, d'atomes $A_1,\dots,A_k$ (A1).

Sens 1 — si $f$ est constante sur chaque atome, alors pour tout borélien $B$, $f^{-1}(B)$ est la réunion des atomes dont la valeur commune tombe dans $B$. C'est une réunion d'atomes, donc un élément de $\mathcal{A}$ ✓

Sens 2 — si $f$ est mesurable, soit $A_i$ un atome et $x,y\in A_i$. Supposons $f(x)\neq f(y)$. Alors

est un mesurable qui contient $x$ mais pas $y$. Son intersection avec $A_i$ est donc un élément de $\mathcal{A}$ strictement inclus dans $A_i$ et non vide — ce qui contredit le fait que $A_i$ soit un atome (un plus petit mesurable non vide).

Donc $f(x)=f(y)$ : $f$ est constante sur $A_i$ ✓

👉 Lecture : une fonction mesurable ne distingue pas ce que la tribu ne distingue pas. La mesurabilité est une contrainte de résolution, pas de régularité.

La classe des fonctions mesurables est très stable — bien plus que celle des fonctions continues :

👉 La troisième ligne est celle qui change tout. Une limite simple de fonctions continues n'est pas continue en général ; une limite simple de fonctions mesurables est mesurable. C'est cette stabilité qui rend possibles les théorèmes du lot E.

La raison tient en une ligne : $\{\sup_n f_n\leq a\}=\bigcap_n\{f_n\leq a\}$, intersection dénombrable de mesurables.

⚠️ Toujours l'axiome 3. Avec un $\sup$ non dénombrable, l'argument tombe — et le résultat aussi.

Toute fonction continue $\mathbb{R}\to\mathbb{R}$ est borélienne. L'image réciproque d'un ouvert est un ouvert, donc un borélien ; et les ouverts engendrent $\mathcal{B}(\mathbb{R})$.

👉 Donc « mesurable » est beaucoup plus faible que « continue ». La fonction de Dirichlet $\mathbf{1}_{\mathbb{Q}}$ est mesurable et discontinue en tout point (B4).

⚠️ ADMIS, et c'est un résultat difficile : il existe des fonctions Lebesgue-mesurables non boréliennes. La différence tient à la complétion (C2) — la tribu de Lebesgue contient toutes les parties des négligeables, ce que la borélienne ne fait pas.

ℹ️ En probabilités, une fonction mesurable s'appelle une variable aléatoire, et la tribu de départ modélise l'information disponible. « $X$ est $\mathcal{A}$-mesurable » s'y lit « $X$ est connue de qui dispose de l'information $\mathcal{A}$ » — le résultat sur les atomes ci-dessus en est la version finie, et il est exactement ce que formalise l'espérance conditionnelle.

Étagée : $\varphi=\sum_i c_i\mathbf 1_{A_i}$, valeurs en nombre fini.

Passer à l'écriture canonique (par les valeurs distinctes, atomes disjoints).

$\mathbf 1_A$ : une seule valeur $1$ sur $A$.

Une fonction étagée (ou simple) est une fonction mesurable ne prenant qu'un nombre fini de valeurs. Elle s'écrit

(Pour que la somme ci-dessous ait un sens, on suppose $c_i\geq 0$, ou bien $\mu(A_i)<\infty$ : sinon elle pourrait valoir $\infty-\infty$.)

On pose alors

👉 C'est la brique de toute la construction. L'intégrale d'une fonction quelconque sera définie par approximation étagée (B2) — donc si cette définition-ci est mal posée, rien de ce qui suit ne tient.

Une même fonction admet plusieurs écritures étagées. Sur $[0,2]$ :

désignent la même fonction. Les deux formules donnent-elles la même intégrale ?

👉 Il faut le démontrer en général, sinon $\int\varphi\,d\mu$ n'est pas une fonction de $\varphi$ mais de son écriture — et l'objet n'existe pas.

ℹ️ C'est exactement le même souci qu'en A1 du chapitre analyse_complexe : une définition qui passe par un choix doit être montrée indépendante de ce choix.

Soient deux écritures de la même $\varphi$, chacune sur une partition de $\Omega$ ($A_i$ deux à deux disjoints de réunion $\Omega$, de même pour les $B_j$ — une écriture quelconque s'y ramène en découpant selon les intersections des $A_i$) :

L'idée : raffiner les deux découpages en un seul. Posons $C_{ij}=A_i\cap B_j$. Les $C_{ij}$ sont deux à deux disjoints, et

Par additivité de $\mu$ (A3) :

De même $\sum_j d_j\mu(B_j)=\sum_{i,j}d_j\,\mu(C_{ij})$.

Or sur chaque $C_{ij}$ non vide, les deux écritures donnent la valeur de $\varphi$ en un point : donc $c_i=d_j$. Les deux sommes coïncident terme à terme. $\blacksquare$

👉 Le raffinement commun est LA technique de ce genre de preuve. On la retrouvera pour la linéarité de l'intégrale et pour Fubini (C4).

⚠️ La restriction « non vide » compte : si $C_{ij}=\varnothing$, on ne peut rien dire de $c_i$ et $d_j$ — mais $\mu(C_{ij})=0$, donc le terme ne pèse rien.

L'intégrale des étagées est bien définie, linéaire et monotone — les trois se démontrent par le même raffinement.

Exemple sur la mesure discrète de A3, avec $\varphi=2\cdot\mathbf{1}_{\{0\}}+5\cdot\mathbf{1}_{\{1,2\}}$ :

👉 Sur un espace fini, toute fonction mesurable est étagée (A6 : elle est constante sur chaque atome, et il y en a un nombre fini). L'intégrale y est donc une simple somme pondérée — aucune limite n'est nécessaire.

ℹ️ La suite du programme : B2 définit $\int f$ pour $f\geq 0$ par un supremum d'intégrales d'étagées, B3 étend aux fonctions de signe quelconque par $f=f^+-f^-$. Toute la construction repose sur la brique posée ici.

$\int f=\sup\{\int\varphi:0\leq\varphi\leq f,\ \varphi\text{ étagée}\}$.

Monotonie : tout $\varphi\leq f$ vérifie $\varphi\leq g$.

En fini : $\int f=\sum f(\text{atome})\,\mu(\text{atome})$.

Pour $f\geq 0$ mesurable, on pose

👉 Pourquoi un supremum, et pourquoi par en dessous. On approche $f$ par ce qu'on sait déjà intégrer (B1), en restant toujours sous $f$. La valeur cherchée est la meilleure minoration possible.

⚠️ La valeur $+\infty$ est autorisée — c'est pourquoi on exige $f\geq 0$ : sans signe constant, un supremum pourrait ne pas exister, et $\infty-\infty$ apparaîtrait. C'est aussi ce qui distingue ce lot de B3.

ℹ️ Le contraste avec Riemann est ici, et il est décisif. Riemann découpe l'abscisse en petits intervalles ; Lebesgue découpe l'ordonnée en tranches et mesure leurs images réciproques. C'est ce qui permet d'intégrer des fonctions très irrégulières (B4).

Soient $f\leq g$, toutes deux positives mesurables.

Toute étagée $\varphi$ vérifiant $0\leq\varphi\leq f$ vérifie a fortiori $0\leq\varphi\leq g$. L'ensemble dont on prend le supremum pour $f$ est donc inclus dans celui de $g$ :

Un supremum sur un ensemble plus grand est plus grand :

$\blacksquare$

👉 La preuve tient en une inclusion d'ensembles. C'est le grand avantage de la définition par supremum : les propriétés d'ordre s'en déduisent sans calcul.

⚠️ L'additivité $\int(f+g)=\int f+\int g$ n'est PAS immédiate avec cette définition.

La difficulté est réelle : si $\varphi\leq f$ et $\psi\leq g$, alors $\varphi+\psi\leq f+g$, ce qui donne bien $\int f+\int g\leq\int(f+g)$. Mais l'inégalité inverse résiste — une étagée $\chi\leq f+g$ ne se décompose pas a priori en $\varphi+\psi$.

👉 La sortie passe par le théorème de convergence monotone (E1). On construit une suite croissante d'étagées

et l'on passe à la limite en utilisant la linéarité déjà acquise sur les étagées (B1).

⚠️ L'ordre logique compte, et il n'est pas celui du cours. On démontre la convergence monotone AVANT la linéarité, alors qu'on présente souvent l'inverse. Le circuit est : étagées (B1) → monotonie (ici) → convergence monotone (E1) → linéarité.

ℹ️ Cette construction ascendante existe : $\varphi_n=\min\big(n,\ 2^{-n}\lfloor 2^n f\rfloor\big)$ découpe l'ordonnée en tranches de hauteur $2^{-n}$, plafonnées à $n$. Elle croît bien vers $f$.

👉 La dernière ligne est un résultat fort, démontré en B6 : une fonction positive d'intégrale nulle est nulle presque partout. Elle est fausse sans la positivité — $\int_{-1}^{1}x\,dx=0$ sans que $x$ soit nulle.

ℹ️ Interversion somme-intégrale gratuite pour les termes positifs : $\int\sum_k f_k=\sum_k\int f_k$ dès que $f_k\geq 0$, par Beppo Levi appliqué aux sommes partielles. Aucune hypothèse de convergence n'est nécessaire — les deux membres peuvent valoir $+\infty$ ensemble. C'est l'objet de E6.

$f^+=\max(f,0)$, $f^-=\max(-f,0)$, $|f|=f^++f^-$.

Inégalité triangulaire à partir de $f^+,f^-\geq0$.

Éviter la forme indéterminée $\infty-\infty$.

Pour $f$ mesurable de signe quelconque, on pose

Ces deux fonctions sont positives et mesurables (A6), et l'on a les deux identités clés :

👉 On se ramène ainsi au cas positif de B2, où l'intégrale est déjà définie. C'est le seul but de ce découpage.

Définition. $f\in L^1(\mu)$ si $\int\lvert f\rvert\,d\mu<+\infty$, et alors

Parce que sans cette condition, la différence peut être indéterminée.

Comme $\lvert f\rvert=f^++f^-$, la condition $\int\lvert f\rvert<\infty$ équivaut à

Si les deux valaient $+\infty$, la définition donnerait $\infty-\infty$ : rien.

Le contre-exemple à retenir : $f(x)=\dfrac{\sin x}{x}$ sur $]0,+\infty[$.