Exercices corrigés — Séries de Fourier

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.

Pour la question 2, convertir $20\ \text{ms}=0{,}02\ \text{s}$.

$\dfrac{2\pi}{0{,}02}=100\pi$.

Le vocabulaire de base de tout le chapitre, et il tient en une relation.

Trois grandeurs décrivent la même chose, et il faut savoir passer de l'une à l'autre sans hésiter :

⚠️ La pulsation n'est PAS la fréquence. Elle vaut $2\pi$ fois la fréquence, et c'est elle qui apparaît dans les formules — parce que le sinus et le cosinus ont pour période $2\pi$, pas $1$.

Pourquoi $2\pi$. On veut que $\cos(\omega t)$ ait la période $T$, c'est-à-dire que

ℹ️ C'est la seule chose à retenir, et tout le reste s'en déduit. La pulsation est le nombre de radians parcourus par seconde ; la fréquence, le nombre de tours par seconde.

⚠️⚠️ Le piège des UNITÉS. Une période donnée en millisecondes doit être convertie en secondes avant tout calcul :

Oublier cette conversion donne un résultat mille fois trop petit — et sur une grandeur physique, c'est une erreur qui ne pardonne pas.

Le contrôle qui l'attrape : un ordre de grandeur. Une période de quelques dizaines de millisecondes correspond à des dizaines de hertz ; si l'on trouve une fraction de hertz, la conversion a sauté.

1) $T=2\pi$.

ℹ️ C'est le cas de référence de tout le chapitre, et ce n'est pas un hasard : avec $T=2\pi$ la pulsation vaut $1$, donc les harmoniques s'écrivent simplement $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$ — sans facteur parasite. Tous les exercices qui suivent l'utilisent.

Contrôle : $\cos(1\times t)$ a bien pour période $2\pi$ ✓

2) $T=20\ \text{ms}$.

D'abord la conversion, et c'est l'étape à ne pas sauter :

La fréquence correspondante :

⚠️⚠️ $50$ Hz est la fréquence du réseau électrique européen — ce n'est évidemment pas une coïncidence dans un exercice de génie électrique. Reconnaître cette valeur est le meilleur contrôle possible : si l'on trouve autre chose, la conversion a échoué.

Vérifions la cohérence des trois grandeurs :

Le contrôle par ordre de grandeur. Comparons ce qu'on obtiendrait sans la conversion :

⚠️ L'écart est d'un facteur $1000$, et il se voit à l'œil : un signal électrique n'oscille pas une fois toutes les vingt secondes.

ℹ️ Où ces grandeurs vont servir. Dans toute la suite du chapitre, les harmoniques s'écrivent

L'harmonique de rang $n$ a donc la fréquence $n\,f$ : le rang $3$ d'un signal à $50$ Hz vibre à $150$ Hz. C'est ce qui donne son sens au spectre (D5).

LA relation du chapitre

$$\boxed{\omega=\dfrac{2\pi}{T}=2\pi f} \qquad\qquad f=\dfrac1T$$

Les trois grandeurs

$$T \ (\text{s}) \qquad f \ (\text{Hz}) \qquad \omega \ (\text{rad/s})$$

⚠️ La pulsation n'est pas la fréquence : $\omega=2\pi f$.

Pourquoi $2\pi$ On veut $\cos(\omega(t+T))=\cos(\omega t)$, donc $\omega T=2\pi$.

⚠️⚠️ CONVERTIR LES UNITÉS AVANT DE CALCULER

$$20\ \text{ms}=0{,}020\ \text{s}$$

Sans conversion, le résultat est 1000 fois trop petit.

Les deux résultats

$$T=2\pi \ \Longrightarrow \ \omega=1 \ \text{rad/s} \qquad\qquad T=20\ \text{ms} \ \Longrightarrow \ \omega=100\pi\approx 314 \ \text{rad/s}, \ f=50 \ \text{Hz}$$

ℹ️ $T=2\pi$ est le cas de référence du chapitre : $\omega=1$, donc les harmoniques s'écrivent $\cos(nt)$, $\sin(nt)$.

Harmonique de rang $n$

$$\cos(n\omega t) \qquad\text{de fréquence } n\,f$$

Contrôle : l'ordre de grandeur. $50$ Hz est la fréquence du réseau — la reconnaître valide la conversion.

⚠️⚠️ Oublier de convertir les millisecondes et calculer $\dfrac{2\pi}{20}=0{,}314$ rad/s.

Le contrôle : l'ordre de grandeur. Cela ferait $0{,}05$ Hz, soit une oscillation toutes les vingt secondes — impossible pour un signal électrique.

⚠️⚠️ Confondre pulsation et fréquence et répondre $50$ rad/s au lieu de $100\pi$.

Le contrôle : $\omega=2\pi f$, donc $\omega$ est toujours plus grand que $f$ (d'un facteur $\approx 6{,}28$).

⚠️ Écrire $\omega=\dfrac{T}{2\pi}$, la relation inversée.

Le contrôle : plus la période est courte, plus la pulsation est grande. Une période de $20$ ms (courte) doit donner une grande pulsation.

⚠️ Répondre $\omega=2\pi$ pour $T=2\pi$ en confondant les deux.

Le contrôle : $\omega T$ doit valoir $2\pi$. Avec $\omega=2\pi$ et $T=2\pi$, on obtiendrait $4\pi^2$ ✗

⚠️ Donner $\omega$ sans unité, ou en hertz. La pulsation est en rad/s.

⚠️ Écrire $100\pi\approx 100\times 3=300$ en arrondissant trop tôt. $100\pi\approx 314$ — garder la valeur exacte et n'arrondir qu'à la fin.

⚠️ Croire que $T=2\pi$ signifie « période de $6{,}28$ secondes ». C'est vrai si $t$ est en secondes, mais dans les exercices théoriques $t$ est souvent sans dimension. Le cas $T=2\pi$ sert à simplifier les formules, pas à décrire un signal réel.

⚠️⚠️ CONVERTIR les millisecondes en secondes AVANT de calculer — sans quoi le résultat est 1000 fois trop petit.

Le contrôle : $T=20$ ms donne $f=50$ Hz, la fréquence du réseau électrique. La reconnaître valide toute la conversion.

⚠️ La pulsation n'est PAS la fréquence : $\omega=2\pi f$, donc toujours $\approx 6{,}28$ fois plus grande.

ℹ️ $T=2\pi$ est le cas de référence du chapitre — la pulsation vaut $1$, donc les harmoniques s'écrivent $\cos(nt)$ et $\sin(nt)$, sans facteur parasite.

L'harmonique de rang $n$ a la fréquence $n\,f$ — c'est ce qui donne son sens au spectre.

$a_0=\dfrac1T\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\,dt$.

Découper en deux morceaux $]-\pi;0[$ et $]0;\pi[$.

Les deux aires se compensent.

Le premier coefficient de Fourier, et le plus facile — mais sa définition est le premier piège du chapitre.

⚠️⚠️ Attention à la convention. Certains ouvrages notent $a_0$ le double de la moyenne (pour uniformiser avec la formule des $a_n$), et écrivent alors $\dfrac{a_0}{2}$ dans la série. Ici — et dans tout ce chapitre — $a_0$ EST la valeur moyenne, et la série s'écrit

Vérifier la convention du cours avant de comparer à un corrigé trouvé ailleurs.

Ce que $a_0$ représente physiquement :

ℹ️ En électricité, c'est la tension continue autour de laquelle le signal oscille. Un signal alternatif pur a $a_0=0$ ; un signal redressé, non (A4).

Ici, le créneau vaut $+1$ la moitié du temps et $-1$ l'autre moitié.

⚠️ C'est un argument de symétrie, et il est parfaitement rigoureux : les aires positive et négative sont égales, donc l'intégrale est nulle. Poser l'intégrale sert alors à confirmer, pas à découvrir.

ℹ️ Prendre l'habitude de regarder le signal avant de calculer est le réflexe le plus rentable de ce chapitre — il évitera bien plus qu'une intégrale.

Le signal. Sur une période $]-\pi;\pi[$ :

L'argument de symétrie, d'abord. Le signal passe autant de temps à $+1$ qu'à $-1$ :

Le calcul, pour confirmer. Avec $T=2\pi$ :

⚠️ Il faut DÉCOUPER l'intégrale, puisque $f$ n'a pas la même expression sur les deux moitiés :

Chaque morceau est l'intégrale d'une constante :

On somme :

✓ Conforme à l'argument de symétrie.

Les contrôles.

a) L'encadrement. Le signal vaut toujours entre $-1$ et $+1$, donc sa moyenne aussi :

ℹ️ Ce contrôle est trivial mais efficace : trouver $a_0=\pi$ ou $a_0=2$ serait immédiatement absurde. Une moyenne est toujours comprise entre le minimum et le maximum du signal.

b) La parité. Le créneau est une fonction impaire :

Vérifions : pour $t=0{,}5$, $f(0{,}5)=+1$ et $f(-0{,}5)=-1$ ✓

⚠️⚠️ C'est le troisième argument, et le plus général. Il ne dépend pas de la forme particulière du créneau : toute fonction impaire a une valeur moyenne nulle sur un intervalle symétrique. Ce sera le sujet de B5.

c) La lecture physique. Un créneau $\pm 1$ est un signal alternatif pur : il n'a aucune composante continue. Un voltmètre en position « continu » y lirait $0$.

ℹ️ À comparer avec B6, où le créneau vaut $0$ ou $1$ : là, la moyenne vaut $\frac12$, et le signal a une composante continue. Le même créneau décalé n'a pas le même $a_0$ — la moyenne dépend du niveau, pas de la forme.

VALEUR MOYENNE

$$\boxed{a_0=\dfrac1T\int_{T}f(t)\,dt}$$

C'est la composante continue du signal.

⚠️⚠️ CONVENTION Ici $a_0$ EST la moyenne, et la série s'écrit

$$f(t)=a_0+\sum_{n\geq 1}\left[a_n\cos(n\omega t)+b_n\sin(n\omega t)\right]$$

D'autres ouvrages notent $\frac{a_0}{2}$ dans la série. Vérifier la convention avant de comparer.

Intégrale d'une fonction définie par morceaux

$$\int_{-\pi}^{\pi}=\int_{-\pi}^{0}+\int_{0}^{\pi}$$

Découper là où l'expression change.

⚠️ L'argument de parité — le plus général

$$f \text{ IMPAIRE} \ \Longrightarrow \ \int_{-a}^{a}f=0 \ \Longrightarrow \ a_0=0$$

Sans aucun calcul.

Contrôles · une moyenne est encadrée par le min et le max du signal ; · symétrie des aires ; · lecture physique : un alternatif pur a $a_0=0$.

ℹ️ Le niveau compte, pas la forme Créneau $\pm 1$ : $a_0=0$. Créneau $0/1$ : $a_0=\frac12$ (B6).

⚠️⚠️ Oublier le facteur $\dfrac1T$ et répondre $a_0=\int f=0$… qui donne la bonne réponse ici par accident, puisque l'intégrale est nulle.

Le contrôle : sur un autre signal, l'erreur mordrait. Vérifier l'encadrement $-1\leq a_0\leq 1$ ne suffit pas non plus ici — c'est un cas où l'erreur est invisible, raison de plus pour écrire la formule complète.

⚠️ Prendre $\dfrac{1}{2\pi}$ alors que $T\neq 2\pi$, ou l'inverse. Le facteur est $\dfrac1T$, et $T$ vaut ici $2\pi$.

⚠️ Ne pas découper l'intégrale et intégrer « $f$ » comme si elle avait une expression unique. Le signal en a deux.

⚠️ Se tromper de signe sur la borne : $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dt=(-1)\times(0-(-\pi))=-\pi$, et non $+\pi$.

Le contrôle : l'aire d'un signal négatif est négative.

⚠️ Croire que $a_0=0$ signifie que le signal est nul. Il signifie que sa moyenne est nulle : le signal oscille autour de zéro, sans y être.

⚠️ Confondre la valeur moyenne et la valeur EFFICACE. La moyenne du créneau vaut $0$ ; sa valeur efficace vaut $1$ (car $f^2=1$ partout). Ce sont deux grandeurs différentes — c'est le sujet de D6.

⚠️ Ne pas exploiter la parité. L'argument « $f$ impaire donc moyenne nulle » est le plus court, le plus général, et il ne demande aucun calcul.

Trois arguments concordants, du plus court au plus calculatoire :

1. la parité — $f$ est impaire, donc son intégrale sur $]-\pi;\pi[$ est nulle ;
2. la symétrie des aires — $+\pi$ et $-\pi$ se compensent ;
3. le calcul — en découpant $\displaystyle\int_{-\pi}^{0}+\int_{0}^{\pi}$.

⚠️⚠️ CONVENTION : ici $a_0$ est la moyenne, et la série s'écrit $f=a_0+\sum[\dots]$. D'autres ouvrages y mettent $\frac{a_0}{2}$.

$a_0$ est la composante CONTINUE — ce qu'un voltmètre lirait en position « continu ». Ici $0$ : le créneau $\pm 1$ est un alternatif pur.

⚠️ Contrôle trivial et efficace : une moyenne est toujours encadrée par le min et le max du signal.

⚠️ Ne pas confondre moyenne et valeur EFFICACE : ici $0$ contre $1$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt$.

$|t|$ est paire : $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt=2\int_0^\pi t\,dt$.

$\displaystyle\int_0^\pi t\,dt=\dfrac{\pi^2}2$.

Une valeur moyenne qui, cette fois, n'est PAS nulle — et l'exercice montre pourquoi.

Ce signal est le « triangle » : il descend linéairement de $\pi$ à $0$ sur $]-\pi;0[$, puis remonte de $0$ à $\pi$. Sa forme est celle d'un V.

⚠️ $|t|$ est POSITIVE partout : il n'y a aucune compensation d'aires, donc $a_0>0$ nécessairement. C'est le premier contrôle, et il est disponible avant tout calcul.

Le second réflexe — exploiter la PARITÉ.

On divise le travail par deux, et surtout on supprime la valeur absolue : sur $]0;\pi[$, $|t|=t$ tout simplement.

ℹ️ C'est le réflexe le plus rentable du chapitre. Une valeur absolue est pénible à intégrer ; la parité la fait disparaître.

On peut même prévoir le résultat. Le signal monte linéairement de $0$ à $\pi$ : sa moyenne est celle d'une fonction affine, donc la moyenne des extrêmes :

⚠️ Cet argument ne vaut que parce que le signal est AFFINE sur $[0;\pi]$ (et pair, donc de même moyenne sur $]-\pi;\pi[$) — être affine par morceaux ne suffirait pas. Il ne se généralise pas — mais ici il donne la réponse en trois secondes, et le calcul ne fera que la confirmer.

Par parité — $|t|$ est paire :

⚠️ Sur $]0;\pi[$, on a $t>0$ donc $|t|=t$ : la valeur absolue disparaît. C'est tout le bénéfice de la parité.

L'intégrale :

On assemble :

Les contrôles.

a) L'encadrement. Le signal varie entre $0$ et $\pi$ :

b) La prédiction affine. Un signal affine a pour moyenne la moyenne de ses extrêmes :

c) L'aire géométrique — le contrôle le plus visuel. Sur $]-\pi;\pi[$, le graphe de $|t|$ dessine deux triangles rectangles de base $\pi$ et de hauteur $\pi$ :

ℹ️ Trois contrôles concordants, dont un entièrement géométrique — sans aucune primitive. Sur les signaux affines par morceaux, l'aire se calcule à vue : c'est plus rapide et plus sûr que la primitive.

d) Le signe. $a_0>0$, conforme au fait que $f\geq 0$ partout ✓

La lecture physique. Ce signal a une composante continue de $\frac\pi2$ : il oscille autour de $1{,}57$, pas autour de $0$. C'est l'inverse du créneau $\pm 1$ de A2.

ℹ️ Ce que $a_0$ annonce pour la suite. Dans la série de Fourier du triangle, il y aura donc un terme constant $\frac\pi2$ — c'est lui qu'on retrouvera en C4, et c'est en l'isolant qu'on obtiendra $\sum\frac{1}{(2k+1)^2}=\frac{\pi^2}{8}$.

Valeur moyenne

$$a_0=\dfrac1T\int_{T}f(t)\,dt$$

⚠️⚠️ PARITÉ — le réflexe le plus rentable

$$f \text{ PAIRE} \ \Longrightarrow \ \int_{-a}^{a}f=2\int_{0}^{a}f$$

$$f \text{ IMPAIRE} \ \Longrightarrow \ \int_{-a}^{a}f=0$$

Sur $|t|$, la parité supprime la valeur absolue : sur $]0;\pi[$, $|t|=t$.

Le résultat

$$a_0=\dfrac{1}{\pi}\int_{0}^{\pi}t\,dt=\dfrac{1}{\pi}\cdot\dfrac{\pi^{2}}{2}=\boxed{\dfrac{\pi}{2}}$$

Trois contrôles · encadrement : $0\leq a_0\leq\pi$ ; · signal affine : moyenne $=\dfrac{\text{min}+\text{max}}{2}$ (ne vaut QUE pour l'affine) ; · aire géométrique : deux triangles $\dfrac{\pi\times\pi}{2}$, soit $\pi^{2}$, divisée par $2\pi$.

⚠️ Sur un signal affine par morceaux, calculer l'aire À VUE Plus rapide et plus sûr qu'une primitive.

Signe

$$f\geq 0 \ \text{partout, continue et non identiquement nulle} \ \Longrightarrow \ a_0>0$$

ℹ️ Ce $a_0=\frac\pi2$ sera le terme constant de la série en C4.

⚠️⚠️ Croire que $a_0=0$ « parce que le signal est symétrique ». Il est pair, pas impair — et c'est l'imparité qui annule l'intégrale.

Le contrôle : $|t|\geq 0$ partout, continue et non identiquement nulle, donc sa moyenne ne peut pas être nulle.

⚠️⚠️ Intégrer $|t|$ sans traiter la valeur absolue et écrire $\left[\frac{t^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$.

C'est l'erreur la plus fréquente, et elle donne $0$ — donc un résultat qui ressemble à celui de A2. Le contrôle du signe l'attrape immédiatement.

ℹ️ La cause : $\frac{t^2}{2}$ est une primitive de $t$, pas de $|t|$. Sur $]-\pi;0[$, $|t|=-t$ et la primitive est $-\frac{t^2}{2}$.

⚠️ Oublier le facteur $2$ de la parité, et écrire $a_0=\frac{1}{2\pi}\int_0^\pi t\,dt=\frac{\pi}{4}$.

Le contrôle : la prédiction affine donne $\frac\pi2$, pas $\frac\pi4$.

⚠️ Oublier le facteur $\frac1T$ et répondre $\frac{\pi^2}{2}$ ou $\pi^2$.

Le contrôle : l'encadrement $0\leq a_0\leq\pi$. Or $\pi^2\approx 9{,}87>\pi$ ✗

⚠️ Prendre $T=\pi$ au lieu de $2\pi$. La période est bien $2\pi$ : le signal se répète tous les $2\pi$.

⚠️ Appliquer « moyenne des extrêmes » à un signal non affine. Cet argument ne vaut que pour un signal affine sur l'intervalle d'intégration — pas pour un signal seulement affine par morceaux (E1 : un créneau n'y obéit que si son rapport cyclique vaut $\frac12$). Sur $|\sin t|$ (A4), il donnerait $\frac{0+1}{2}=0{,}5$, alors que la vraie moyenne est $\frac2\pi\approx 0{,}637$ ✗

⚠️ Ne faire aucun contrôle. L'aire géométrique se calcule en dix secondes et confirme tout.

La parité supprime la valeur absolue — c'est le réflexe le plus rentable du chapitre.

⚠️⚠️ NE PAS écrire $\left[\frac{t^2}{2}\right]_{-\pi}^{\pi}=0$ : $\frac{t^2}{2}$ est une primitive de $t$, pas de $|t|$. L'erreur donne $0$, donc un résultat plausible — c'est le signe qui l'attrape : $|t|\geq 0$, continue et non identiquement nulle, impose $a_0>0$.

Trois contrôles : encadrement $0\leq a_0\leq\pi$ · moyenne des extrêmes $\frac{0+\pi}{2}$ (signal affine seulement) · aire géométrique — deux triangles $\frac{\pi\times\pi}{2}$, soit $\pi^2$, divisée par $2\pi$.

⚠️ « Moyenne des extrêmes » ne vaut QUE pour l'affine : sur $|\sin t|$ elle donnerait $0{,}5$ au lieu de $\frac2\pi\approx 0{,}637$.

Ici $T=\pi$ : $a_0=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi|\sin t|\,dt$.

Sur $]0;\pi[$, $\sin t\ge0$ donc $|\sin t|=\sin t$.

$\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt=2$.

Le redressement double alternance — le signal le plus courant de l'électronique de puissance, et un piège de période.

⚠️⚠️ CE SIGNAL EST $\pi$-PÉRIODIQUE, PAS $2\pi$. L'énoncé le dit, et il faut comprendre pourquoi :

La valeur absolue REPLIE les alternances négatives vers le haut, ce qui double la fréquence apparente. Le signal se répète donc deux fois plus souvent que $\sin t$.

⚠️ Intégrer sur $]0;\pi[$ en divisant par $2\pi$ est l'erreur n°1 de l'exercice, et elle divise le résultat par deux. Le contrôle : sur $]0;\pi[$, $\sin t\geq 0$ donc $|\sin t|=\sin t$ — et l'on divise par $\pi$, la durée sur laquelle on intègre.

ℹ️ Sur $]0;\pi[$ la valeur absolue disparaît, puisque le sinus y est positif. On choisit donc cette période-là, et le calcul devient élémentaire.

Ce que le résultat représente. C'est la tension continue délivrée par un pont redresseur : la grandeur que lit un voltmètre en position continu à la sortie d'un redressement double alternance.

⚠️ Cette valeur est à connaître : $0{,}637$ fois l'amplitude crête. Elle vaut à peu près les deux tiers du maximum — un ordre de grandeur qui sert de contrôle immédiat.

ℹ️ À comparer : un redressement simple alternance (une alternance sur deux supprimée) donnerait la moitié, $\frac1\pi\approx 0{,}318$.

Sur une période $]0;\pi[$, le sinus est positif, donc $|\sin t|=\sin t$ :

La primitive de $\sin$ est $-\cos$ :

⚠️ Attention au double signe : $-\cos\pi=-(-1)=+1$, et $-(-\cos 0)=+1$. Total : $2$.

Les contrôles.

a) L'encadrement. Le signal varie entre $0$ et $1$ :

b) L'ordre de grandeur — le contrôle le plus parlant. Une arche de sinus « remplit » un peu moins des deux tiers du rectangle qui la contient :

ℹ️ Une arche de sinus est plus « pleine » qu'un triangle (qui remplirait $50\ \%$) et moins qu'un rectangle ($100\ \%$). Trouver une valeur entre $0{,}5$ et $1$ est donc attendu, et $0{,}637$ y est.

c) Le contrôle du piège de période. Si l'on avait pris $T=2\pi$ :

⚠️⚠️ Le résultat est LE MÊME, et c'est important : intégrer sur deux périodes en divisant par deux périodes donne la même moyenne. La formule est cohérente.

L'erreur véritable serait de mélanger les deux — intégrer sur $]0;\pi[$ en divisant par $2\pi$ :

d) La lecture physique. Sur un secteur de $230$ V efficaces, l'amplitude crête vaut $230\sqrt2\approx 325$ V, donc la tension continue après redressement double alternance vaut

ℹ️ C'est l'ordre de grandeur réel en sortie d'un pont de diodes non filtré. Le coefficient $0{,}637$ est une constante d'électronique, autant le reconnaître.

⚠️ Ne pas confondre avec la valeur EFFICACE, qui vaut $\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}707$ pour un sinus. Moyenne $0{,}637$, efficace $0{,}707$ : deux grandeurs distinctes, deux formules distinctes (D6).

Valeur moyenne

$$a_0=\dfrac1T\int_{T}f(t)\,dt$$

⚠️ La borne d'intégration et le diviseur $T$ doivent porter sur la MÊME durée.

⚠️⚠️ $|\sin t|$ est $\pi$-PÉRIODIQUE

$$|\sin(t+\pi)|=|-\sin t|=|\sin t|$$

La valeur absolue replie les alternances négatives : la fréquence double.

Sur $]0;\pi[$, la valeur absolue disparaît $\sin t\geq 0$, donc $|\sin t|=\sin t$. Choisir cette période-là.

Le résultat

$$a_0=\dfrac1\pi\int_0^\pi\sin t\,dt=\dfrac1\pi\Big[-\cos t\Big]_0^\pi=\dfrac2\pi\approx 0{,}637$$

ℹ️ Constante d'électronique à connaître

$$\text{double alternance} : 0{,}637\times A \qquad \text{simple alternance} : 0{,}318\times A$$

⚠️ Ne pas confondre avec la valeur EFFICACE

$$\text{moyenne } \dfrac2\pi\approx 0{,}637 \qquad \text{efficace d'un sinus } \dfrac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}707$$

Contrôles · encadrement $0\leq a_0\leq 1$ ; · taux de remplissage : une arche de sinus remplit $64\ \%$ de son rectangle (triangle $50\ \%$, rectangle $100\ \%$).

⚠️⚠️ Mélanger la borne et le diviseur : intégrer sur $]0;\pi[$ en divisant par $2\pi$. On obtient $\frac1\pi\approx 0{,}318$, la moitié de la vraie valeur.

Le contrôle : le taux de remplissage. $31{,}8\ \%$ serait moins qu'un triangle, ce qu'une arche de sinus n'est certainement pas.

⚠️ Croire que le signal est $2\pi$-périodique. Il l'est aussi (toute période est multiple de la plus petite), mais la période fondamentale est $\pi$ — et c'est elle qui donne la pulsation des harmoniques.

ℹ️ Intégrer sur $2\pi$ en divisant par $2\pi$ donne le bon résultat : la moyenne ne dépend pas du nombre de périodes. C'est cohérent, pas contradictoire.

⚠️ Oublier la valeur absolue et calculer $\frac{1}{2\pi}\int_0^{2\pi}\sin t\,dt=0$.

Le contrôle : le signal est positif ou nul partout, continu et non identiquement nul, donc sa moyenne ne peut pas être nulle.

⚠️ Se tromper de signe sur la primitive : $\int_0^\pi\sin t\,dt=[-\cos t]_0^\pi=1+1=2$, et non $-2$ ni $0$.

Le contrôle : l'aire sous une courbe positive est positive.

⚠️ Confondre valeur moyenne et valeur efficace. $0{,}637$ contre $0{,}707$ — les deux se ressemblent numériquement, ce qui rend la confusion facile et coûteuse.

⚠️ Appliquer « moyenne des extrêmes » ($\frac{0+1}{2}=0{,}5$). Cet argument ne vaut que pour un signal AFFINE (A3), et une arche de sinus ne l'est pas — d'où l'écart entre $0{,}5$ et $0{,}637$.

⚠️ Arrondir trop tôt : garder $\frac2\pi$ et n'évaluer qu'à la fin.

⚠️⚠️ La valeur absolue REPLIE les alternances négatives : $|\sin(t+\pi)|=|\sin t|$, donc la fréquence double.

Sur $]0;\pi[$, $\sin t\geq 0$ : la valeur absolue disparaît. Choisir cette période-là.

Les mélanger ($\int_0^\pi$ divisé par $2\pi$) donne $0{,}318$ — la moitié.

ℹ️ Constante d'électronique : $0{,}637$ est la tension continue d'un redressement double alternance (simple alternance : $0{,}318$).

⚠️ Moyenne $\frac2\pi\approx 0{,}637$, efficace $\frac{1}{\sqrt2}\approx 0{,}707$ — deux grandeurs distinctes, numériquement voisines.

Contrôle : une arche de sinus remplit 64 % de son rectangle (triangle 50 %, rectangle 100 %).

$b_1=\dfrac2{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin t\,dt$.

$f(t)\sin t$ est paire : $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}=2\int_0^\pi$.

Sur $]0;\pi[$, $f=1$ : $\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt=2$.

Le premier vrai coefficient de Fourier du chapitre, et la formule à installer.

⚠️ Le facteur est $\dfrac2T$, pas $\dfrac1T$. Seul $a_0$ porte un $\dfrac1T$ — parce qu'il est une moyenne. Les $a_n$ et les $b_n$, eux, portent un $\dfrac2T$.

ℹ️ D'où vient ce $2$. Il vient de $\displaystyle\int_{T}\cos^{2}(n\omega t)\,dt=\dfrac{T}{2}$ : pour isoler le coefficient, il faut compenser ce facteur $\frac12$. Ce n'est pas une convention arbitraire.

Ici $T=2\pi$ et $\omega=1$, donc

LE réflexe : la parité du PRODUIT.

⚠️⚠️ C'est la règle des signes appliquée aux parités, et elle décide de tout dans ce chapitre :

Conséquence immédiate :

ℹ️ Cette table économise la moitié des intégrales de tout le chapitre. Elle sera démontrée en B5 ; ici on l'utilise pour ramener l'intégrale à $\displaystyle 2\int_{0}^{\pi}$, où $f$ vaut simplement $1$.

Le produit $f\times\sin$ est PAIR (impaire × impaire) :

⚠️ Sur $]0;\pi[$, le créneau vaut $+1$ : il n'y a plus de fonction par morceaux, plus de découpage. C'est le second bénéfice de la parité.