Exercices corrigés — Séries de Fourier

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.

Pour la question 2, convertir $20\ \text{ms}=0{,}02\ \text{s}$.

$\dfrac{2\pi}{0{,}02}=100\pi$.

$\omega=\dfrac{2\pi}{T}$.

$\omega=\dfrac{2\pi}{2\pi}=1\ \text{rad/s}$.

$\omega=\dfrac{2\pi}{0{,}02}=100\pi\ \text{rad/s}$.

$a_0=\dfrac1T\displaystyle\int_{-T/2}^{T/2}f(t)\,dt$.

Découper en deux morceaux $]-\pi;0[$ et $]0;\pi[$.

Les deux aires se compensent.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\,dt$.

$=\dfrac1{2\pi}\Big(\displaystyle\int_{-\pi}^{0}(-1)\,dt+\int_{0}^{\pi}(+1)\,dt\Big)=\dfrac1{2\pi}\big(-\pi+\pi\big)$.

$a_0=0$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt$.

$|t|$ est paire : $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt=2\int_0^\pi t\,dt$.

$\displaystyle\int_0^\pi t\,dt=\dfrac{\pi^2}2$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\,dt$.

$=\dfrac1{2\pi}\cdot2\displaystyle\int_0^\pi t\,dt=\dfrac1\pi\cdot\dfrac{\pi^2}2$.

$a_0=\dfrac\pi2$.

Ici $T=\pi$ : $a_0=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi|\sin t|\,dt$.

Sur $]0;\pi[$, $\sin t\ge0$ donc $|\sin t|=\sin t$.

$\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt=2$.

$a_0=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt$.

$=\dfrac1\pi\big[-\cos t\big]_0^\pi=\dfrac1\pi(1+1)$.

$a_0=\dfrac2\pi$.

$b_1=\dfrac2{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin t\,dt$.

$f(t)\sin t$ est paire : $\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}=2\int_0^\pi$.

Sur $]0;\pi[$, $f=1$ : $\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt=2$.

$b_1=\dfrac1\pi\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}f(t)\sin t\,dt=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin t\,dt$.

$=\dfrac2\pi\big[-\cos t\big]_0^\pi=\dfrac2\pi\cdot2$.

$b_1=\dfrac4\pi$.

$a_1=\dfrac2{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}|t|\cos t\,dt=\dfrac2\pi\int_0^\pi t\cos t\,dt$ (parité).

Intégration par parties : $\displaystyle\int t\cos t\,dt=t\sin t+\cos t$.

Évaluer entre $0$ et $\pi$.

$a_1=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi t\cos t\,dt$.

$\displaystyle\int_0^\pi t\cos t\,dt=\big[t\sin t+\cos t\big]_0^\pi=(0-1)-(0+1)=-2$.

$a_1=\dfrac2\pi\cdot(-2)=-\dfrac4\pi$.

$f$ est impaire : tous les $a_n$ (et $a_0$) sont nuls.

$b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin(nt)\,dt$ (parité de $f\sin(nt)$).

$\displaystyle\int_0^\pi\sin(nt)\,dt=\dfrac{1-\cos(n\pi)}n=\dfrac{1-(-1)^n}n$.

$f$ impaire $\Rightarrow a_0=0$ et $a_n=0$.

$b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin(nt)\,dt=\dfrac2\pi\cdot\dfrac{1-(-1)^n}n=\dfrac{2}{n\pi}\big(1-(-1)^n\big)$.

$n$ pair : $b_n=0$ ; $n$ impair : $b_n=\dfrac4{n\pi}$.

$f$ est impaire : $a_0=0$, $a_n=0$.

$b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt$ (parité de $t\sin(nt)$).

IPP : $\displaystyle\int t\sin(nt)\,dt=-\dfrac{t\cos(nt)}n+\dfrac{\sin(nt)}{n^2}$.

$a_0=0$, $a_n=0$.

$\displaystyle\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt=\Big[-\dfrac{t\cos(nt)}n+\dfrac{\sin(nt)}{n^2}\Big]_0^\pi=-\dfrac{\pi(-1)^n}n$.

$b_n=\dfrac2\pi\cdot\Big(-\dfrac{\pi(-1)^n}n\Big)=-\dfrac{2(-1)^n}n=\dfrac{2(-1)^{n+1}}n$.

$f$ est paire : $b_n=0$.

$a_0=\dfrac\pi2$ (vu en A3).

$a_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt$, avec $\displaystyle\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt=\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}$.

$f$ paire $\Rightarrow b_n=0$.

$a_0=\dfrac\pi2$.

$\displaystyle\int_0^\pi t\cos(nt)\,dt=\Big[\dfrac{t\sin(nt)}n+\dfrac{\cos(nt)}{n^2}\Big]_0^\pi=\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}$.

$a_n=\dfrac2\pi\cdot\dfrac{(-1)^n-1}{n^2}=\begin{cases}-\dfrac4{\pi n^2}&n\text{ impair}\\0&n\text{ pair}\end{cases}$.

$f$ est paire : $b_n=0$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt=\dfrac{\pi^2}3$.

$a_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi t^2\cos(nt)\,dt$ : double IPP, $\displaystyle\int_0^\pi t^2\cos(nt)\,dt=\dfrac{2\pi(-1)^n}{n^2}$.

$f$ paire $\Rightarrow b_n=0$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi^3}3=\dfrac{\pi^2}3$.

$\displaystyle\int_0^\pi t^2\cos(nt)\,dt=\dfrac{2\pi(-1)^n}{n^2}$.

$a_n=\dfrac2\pi\cdot\dfrac{2\pi(-1)^n}{n^2}=\dfrac{4(-1)^n}{n^2}$.

Étudier la parité de chaque signal.

$f$ paire $\Rightarrow b_n=0$ ; $f$ impaire $\Rightarrow a_0=a_n=0$.

Une somme de fonctions paires est paire.

$a_0=0$ et $a_n=0$ : que des sinus.

somme de deux fonctions paires $\Rightarrow b_n=0$ : que des cosinus.

fonction paire $\Rightarrow b_n=0$ : que des cosinus.

$a_0$ est la valeur moyenne (proportion du temps à $1$).

$a_n=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi\cos(nt)\,dt$ et $b_n=\dfrac1\pi\displaystyle\int_0^\pi\sin(nt)\,dt$.

$\displaystyle\int_0^\pi\cos(nt)\,dt=0$ pour $n\ge1$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^\pi1\,dt=\dfrac12$.

$a_n=\dfrac1\pi\big[\tfrac{\sin(nt)}n\big]_0^\pi=0$.

$b_n=\dfrac1\pi\cdot\dfrac{1-(-1)^n}n=\dfrac2{n\pi}$ pour $n$ impair, $0$ sinon.

Seuls les rangs impairs $n=2k+1$ contribuent.

$S(t)=\displaystyle\sum_{n\ge1}b_n\sin(nt)$.

Poser $n=2k+1$.

$S(t)=\displaystyle\sum_{n\ge1}b_n\sin(nt)$ avec $b_n=0$ pour $n$ pair.

$S(t)=\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac4{(2k+1)\pi}\sin\big((2k+1)t\big)$.

$S(t)=\dfrac4\pi\Big(\sin t+\dfrac{\sin3t}3+\dfrac{\sin5t}5+\cdots\Big)$.

En $t=\tfrac\pi2$, $f$ est continue donc $S(\tfrac\pi2)=f(\tfrac\pi2)=1$ (Dirichlet).

$\sin\big((2k+1)\tfrac\pi2\big)=(-1)^k$.

Isoler la somme.

$f$ continue en $\tfrac\pi2$ $\Rightarrow S(\tfrac\pi2)=1$.

$1=\dfrac4\pi\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{\sin((2k+1)\pi/2)}{2k+1}=\dfrac4\pi\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}$.

$\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{(-1)^k}{2k+1}=\dfrac\pi4$.

En $t=\pi$ le signal saute de $\pi$ (limite à gauche) à $-\pi$ (limite à droite, par périodicité).

Dirichlet : $S(\pi)=\dfrac{f(\pi^-)+f(\pi^+)}2$.

Vérifier que $\sin(n\pi)=0$ confirme le résultat.

$f(\pi^-)=\pi$ et $f(\pi^+)=-\pi$ (valeur du début de période suivante).

$S(\pi)=\dfrac{\pi+(-\pi)}2=0$.

La série $2\sum\tfrac{(-1)^{n+1}}n\sin(n\pi)=0$ car $\sin(n\pi)=0$ : cohérent.

$f$ est continue en $0$ et $f(0)=0$, donc $S(0)=0$.

En $t=0$, $\cos(n\cdot0)=1$.

Isoler la somme sur les rangs impairs.

$S(t)=\dfrac\pi2-\dfrac4\pi\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{\cos((2k+1)t)}{(2k+1)^2}$.

$0=\dfrac\pi2-\dfrac4\pi\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac1{(2k+1)^2}$.

$\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac1{(2k+1)^2}=\dfrac\pi2\cdot\dfrac\pi4=\dfrac{\pi^2}8$.

L'amplitude de l'harmonique de rang $n$ est $A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2}=|b_n|$ ici.

Fondamental : $n=1$ ; harmonique 3 : $n=3$.

Le fondamental a la pulsation $\omega=1$.

$n=1$ : pulsation $\omega=1$, amplitude $A_1=|b_1|=\dfrac4\pi\approx1{,}27$.

$n=3$ : amplitude $A_3=|b_3|=\dfrac4{3\pi}\approx0{,}42$.

Pas d'harmonique pair ($b_2=b_4=0$).

On garde les rangs impairs $n=1,3,5$.

$b_1=\tfrac4\pi$, $b_3=\tfrac4{3\pi}$, $b_5=\tfrac4{5\pi}$.

Sommer les sinus correspondants.

rangs $1$, $3$, $5$ (les pairs sont nuls).

$S_5(t)=\dfrac4\pi\Big(\sin t+\dfrac{\sin3t}3+\dfrac{\sin5t}5\Big)$.

$\omega=\dfrac{2\pi}T$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^\pi2\,dt$.

Le signal vaut $2$ pendant la moitié de la période.

$\omega=\dfrac{2\pi}{2\pi}=1$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_0^\pi2\,dt=\dfrac1{2\pi}\cdot2\pi=1$.

Parité de $f$ ?

$b_n=\dfrac2\pi\displaystyle\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt$ (IPP).

$\displaystyle\int_0^\pi t\sin(nt)\,dt=-\dfrac{\pi(-1)^n}n$.

$f$ impaire $\Rightarrow a_0=0$, $a_n=0$.

$b_n=\dfrac2\pi\Big(-\dfrac{\pi(-1)^n}n\Big)=\dfrac{2(-1)^{n+1}}n$.

Seuls les rangs impairs apparaissent.

Fondamental = terme $n=1$.

Amplitude du fondamental $=|b_1|$.

$f(t)=\dfrac4\pi\displaystyle\sum_{k\ge0}\dfrac{\sin((2k+1)t)}{2k+1}$.

$n=1$ : amplitude $|b_1|=\dfrac4\pi\approx1{,}27$.

En $t=0$ il y a un saut de $-1$ à $+1$.

En $t=\tfrac\pi2$ le signal est continu, $f(\tfrac\pi2)=1$.

Dirichlet : moyenne des limites en un saut, valeur de $f$ ailleurs.

$S(0)=\dfrac{f(0^-)+f(0^+)}2=\dfrac{-1+1}2=0$.

$S(\tfrac\pi2)=f(\tfrac\pi2)=1$.

$a_0=3$, $a_1=4$.

$s_{\text{eff}}^2=a_0^2+\dfrac12 a_1^2$.

Prendre la racine.

$a_0=3$, $a_1=4$, autres nuls.

$s_{\text{eff}}^2=3^2+\dfrac12\cdot4^2=9+8=17$.

$s_{\text{eff}}=\sqrt{17}\approx4{,}12$.

Étudier la parité de $t^2$.

Fonction paire $\Rightarrow b_n=0$.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\displaystyle\int_{-\pi}^{\pi}t^2\,dt$.

$t^2$ est paire $\Rightarrow b_n=0$ : que des cosinus.

$a_0=\dfrac1{2\pi}\cdot\dfrac{2\pi^3}3=\dfrac{\pi^2}3$.