Exercices corrigés — Statistique inférentielle

$\overline{x}=\frac1n\sum x_i$.

Calculer d'abord la somme des carrés des écarts $\mathrm{SCE}=\sum (x_i-\overline{x})^2$.

Estimateur sans biais : $s^2=\frac{\mathrm{SCE}}{n-1}$ (diviseur $n-1$, pas $n$).

Le mot qui porte tout l'exercice est « sans biais », et il désigne une seule chose : on divise par $n-1$, pas par $n$.

Pourquoi ce $n-1$, qui paraît arbitraire. On ne connaît pas la vraie moyenne $\mu$ ; on la remplace par $\overline{x}$, calculée sur les données elles-mêmes. Or $\overline{x}$ est, par construction, la valeur qui minimise la somme des carrés des écarts. Les écarts à $\overline{x}$ sont donc systématiquement plus petits que les écarts à $\mu$ — la dispersion est sous-estimée.

Diviser par $n-1$ au lieu de $n$ compense exactement cette sous-estimation.

Le $n-1$ porte un nom : le degré de liberté. Une fois $\overline{x}$ fixée, les $n$ écarts ne sont plus indépendants — leur somme vaut $0$, donc le dernier est déterminé par les autres. Il ne reste que $n-1$ écarts libres.

Et l'effet est d'autant plus fort que $n$ est petit. Ici $n=5$ : le rapport $\dfrac{n}{n-1}=\dfrac54=1{,}25$, soit $25\ \%$ d'écart. À $n=100$ il tomberait à $1\ \%$.

C'est l'estimation ponctuelle de $\mu$. Aucune correction ici : la moyenne empirique est déjà sans biais, $E(\overline{X})=\mu$ exactement.

Contrôle : $20$ est bien à l'intérieur de l'étendue $[16;24]$, et proche du milieu.

La ligne des écarts somme à $0$ — toujours, par définition de la moyenne. C'est le contrôle gratuit à faire avant de passer aux carrés : une somme non nulle signale une erreur de moyenne ou de soustraction.

Variance sans biais (celle qu'on demande) — division par $n-1=4$ :

Variance « divisée par $n$ » — division par $5$ :

Comparaison :

La version sans biais est $25\ \%$ plus grande, et c'est exactement le rapport $\dfrac{n}{n-1}=\dfrac54$.

Ce que cela signifie concrètement. La version divisée par $n$ décrit la dispersion de l'échantillon lui-même — elle est exacte pour ces cinq nombres. La version divisée par $n-1$ estime la dispersion de la population dont l'échantillon est tiré, et c'est celle-là qu'on veut dès qu'on cherche à généraliser.

⚠️ Sur un petit échantillon, l'écart n'est pas négligeable. Ici $25\ \%$ sur la variance, $12\ \%$ sur l'écart-type. Prendre la mauvaise fausserait tous les intervalles de confiance construits ensuite.

Les deux estimateurs ponctuels

$$\widehat{\mu}=\overline{x}=\frac1n\sum x_i \qquad \widehat{\sigma^2}=s^2=\frac{1}{n-1}\sum(x_i-\overline{x})^2$$

La moyenne est sans biais telle quelle ; la variance exige le $n-1$.

Pourquoi $n-1$ — le degré de liberté Les $n$ écarts $x_i-\overline{x}$ vérifient $\sum(x_i-\overline{x})=0$ : le dernier est déterminé par les $n-1$ autres. Il n'y a donc que $n-1$ informations indépendantes sur la dispersion.

Conséquence formelle : $E(s^2)=\sigma^2$ avec le $n-1$, tandis que la version en $n$ vaut $\dfrac{n-1}{n}\sigma^2$ — elle sous-estime systématiquement.

Le rapport entre les deux

$$\frac{s^2}{\text{variance en } n}=\frac{n}{n-1}$$

$n$	écart
$5$	$+25\ \%$
$10$	$+11\ \%$
$30$	$+3{,}4\ \%$
$100$	$+1\ \%$

C'est pourquoi la distinction est cruciale sur petit échantillon et devient anecdotique au-delà de $100$.

⚠️ $s$ n'est PAS sans biais, même quand $s^2$ l'est — la racine carrée d'un estimateur sans biais ne l'est pas. Le biais résiduel est faible, et on l'ignore en pratique ; mais dire « $s$ est sans biais » est faux.

Formule alternative

$$\sum(x_i-\overline{x})^2=\sum x_i^2-n\,\overline{x}^2$$

Plus rapide sans tableau, mais plus sensible aux arrondis.

⚠️ Diviser par $n$ et répondre $s^2=8$. C'est l'erreur centrale de l'exercice, et l'énoncé dit explicitement « sans biais » pour l'écarter.

Le repère : dès qu'un énoncé parle d'estimer une population à partir d'un échantillon, c'est $n-1$. La division par $n$ ne sert qu'à décrire l'échantillon lui-même.

⚠️ Diviser par $n-1$ dans la MOYENNE : écrire $\dfrac{100}{4}=25$. Le $n-1$ ne concerne que la variance.

Le contrôle : $25$ est hors de l'étendue $[16;24]$ — une moyenne ne peut pas dépasser le maximum.

⚠️ Oublier d'élever les écarts au carré : sommer $-2+2+0+4-4=0$ et conclure que la variance est nulle. Les écarts se compensent par construction ; ce sont leurs carrés qui mesurent la dispersion.

⚠️ Rendre la variance quand on demande l'écart-type (ou l'inverse). Ici $10$ et $3{,}162$ : ne pas les confondre. L'écart-type a la même unité que les données.

⚠️ Croire que $n-1$ est une convention arbitraire. C'est une correction calculée : sans elle, l'estimateur sous-estime la variance de $\dfrac{n-1}{n}$, et l'exercice fait justement mesurer cet écart.

⚠️ Ne pas répondre à la comparaison demandée. L'énoncé dit « comparer » : il faut donner les deux valeurs et le rapport $\dfrac54$, pas seulement l'une des deux.

Le $n-1$ compense le fait que $\overline{x}$ est calculée sur les données : les écarts à $\overline{x}$ sont trop petits, et le $n-1$ les corrige exactement.

La somme des écarts vaut $0$ — contrôle gratuit avant de passer aux carrés.

Le rapport entre les deux versions est $\dfrac{n}{n-1}$ : $25\ \%$ à $n=5$, $1\ \%$ à $n=100$. La distinction compte surtout sur les petits échantillons.

$n-1$ pour la variance, $n$ pour la moyenne. Ne pas transposer.

$\sigma$ inconnu et $n$ petit $\Rightarrow$ loi de Student à $n-1=9$ ddl.

Demi-largeur $=t_{n-1;\,0{,}975}\,\dfrac{s}{\sqrt n}$.

L'estimation $\overline{x}$ est au centre de l'IC.

Deux mots de l'énoncé décident de tout : « $\sigma$ inconnu » et « $n=10$ ».

Quand $\sigma$ est inconnu, on le remplace par son estimation $s$ — mais cela ajoute de l'incertitude, puisque $s$ fluctue lui aussi d'un échantillon à l'autre. La loi normale ne convient plus : il faut la loi de Student, dont les queues sont plus épaisses.

Concrètement : $t_{9;\,0{,}975}=2{,}262$ au lieu de $1{,}96$. L'intervalle est plus large de $15\ \%$, et cet élargissement est le prix de l'ignorance de $\sigma$.

Le degré de liberté est $n-1=9$, pas $n=10$ — pour la même raison qu'en A1 : $s$ est calculé à partir de $\overline{x}$, ce qui consomme un degré.

⚠️ La notation $t_{9;\,0{,}975}$ se lit en deux temps : $9$ est le degré de liberté, $0{,}975$ est le quantile — pas $0{,}95$. Pour un intervalle bilatéral à $95\ \%$, chaque queue vaut $2{,}5\ \%$, donc on lit à $1-0{,}025=0{,}975$.

Étape 1 — l'erreur type.

Étape 2 — la demi-largeur.

Étape 3 — l'intervalle.

Contrôles :

Comparaison chiffrée avec la loi normale. Si l'on avait (à tort) utilisé $1{,}96$ :

L'intervalle serait $13\ \%$ plus étroit — donc faussement précis. C'est exactement l'erreur que la loi de Student existe pour éviter : sous-estimer son incertitude est plus grave que la surestimer.

IC d'une moyenne, $\sigma$ INCONNU

$$IC_{1-\alpha}=\left[\overline{x}\pm t_{n-1;\,1-\alpha/2}\,\frac{s}{\sqrt{n}}\right]$$

Degré de liberté $\nu=n-1$.

Quelle loi selon ce qu'on connaît

$\sigma$	$n$	loi	coefficient
connu	quelconque	normale	$u=1{,}96$ à $95\ \%$
inconnu	petit ($<30$)	Student	$t_{n-1}$
inconnu	grand ($\geq 30$)	normale (approx.)	$u=1{,}96$

Pour $n<30$, ces lois supposent la population normale ; pour $n\geq 30$, le théorème central limite dispense de cette hypothèse.

Student tend vers la normale quand $\nu$ croît : $t_{9}=2{,}262$, $t_{29}=2{,}045$, $t_{\infty}=1{,}96$.

Lire un quantile de Student $t_{\nu;\,1-\alpha/2}$ — deux indices, deux rôles :

• $\nu=n-1$, le degré de liberté ;
• $1-\alpha/2$, le quantile. Pour un IC bilatéral à $95\ \%$ : $0{,}975$, pas $0{,}95$.

⚠️ Confondre $0{,}95$ et $0{,}975$ donne $t_{9;\,0{,}95}=1{,}833$ au lieu de $2{,}262$, soit un intervalle $19\ \%$ trop étroit.

Pourquoi Student est plus large $s$ fluctue d'un échantillon à l'autre. Cette incertitude supplémentaire épaissit les queues, et d'autant plus que $n$ est petit.

⚠️ Utiliser $1{,}96$ alors que $\sigma$ est inconnu. L'intervalle serait $[47{,}52\,;\,52{,}48]$, soit $13\ \%$ trop étroit — on annoncerait une précision qu'on n'a pas.

Le repère : $\sigma$ donné $\to$ normale ; $s$ calculé sur l'échantillon $\to$ Student, tant que $n<30$ (population supposée normale).

⚠️ Prendre $\nu=n=10$ au lieu de $9$. Le degré de liberté est $n-1$, comme pour la variance et pour la même raison.

⚠️ Lire $t$ à $0{,}95$ au lieu de $0{,}975$ : on obtiendrait $1{,}833$, la valeur unilatérale. Un intervalle bilatéral a deux queues de $2{,}5\ \%$.

La question à se poser : combien de queues ? Deux pour un intervalle.

⚠️ Diviser par $n$ au lieu de $\sqrt{n}$ : $\dfrac{4}{10}=0{,}4$ donnerait un intervalle trois fois trop étroit.

Le contrôle : c'est la variance qui se divise par $n$, donc l'écart-type par $\sqrt n$.

⚠️ Écrire $s/\sqrt{n}=\sqrt{4/10}$. La racine ne porte que sur $n$ : $\dfrac{4}{\sqrt{10}}=1{,}265$ et non $\sqrt{0{,}4}=0{,}632$.

⚠️ Oublier l'unité. L'intervalle porte sur des longueurs : $[47{,}14\,;\,52{,}86]$ mm.

$\sigma$ inconnu et $n$ petit $\Longrightarrow$ Student (population normale), avec $\nu=n-1$ degrés de liberté.

Le second indice est $1-\alpha/2$, pas $1-\alpha$ : un intervalle bilatéral a deux queues. $0{,}975$ pour $95\ \%$.

Student donne toujours un intervalle PLUS LARGE que la normale — c'est le prix de l'ignorance de $\sigma$, et le sous-estimer est la vraie faute.

$\sqrt{n}$ au dénominateur, jamais $n$, et la racine ne porte pas sur $s$.

Calculer $\overline{x}$ puis $s^2=\frac1{n-1}\sum (x_i-\overline{x})^2$.

Niveau $90\,\%$ bilatéral $\Rightarrow$ quantile d'ordre $0{,}95$ de $T_{7}$.

Demi-largeur $=t_{7;\,0{,}95}\,s/\sqrt 8$.

Même construction qu'en A2, mais il faut d'abord fabriquer $\overline{x}$ et $s$ à partir des données brutes. L'exercice enchaîne donc A1 et A2.

Trois différences avec A2, toutes dans le coefficient :

Le quantile $0{,}95$ ici n'est PAS une erreur — c'est bien la valeur correcte pour un IC bilatéral à $90\ \%$, dont chaque queue vaut $5\ \%$. La règle est toujours $1-\dfrac{\alpha}{2}$, avec $\alpha=0{,}10$.

Un contrôle qui fait gagner du temps : les huit valeurs sont proches de $13$, et leur somme sera un multiple rond. Repérer la moyenne d'abord simplifie tous les écarts.

La somme des écarts vaut $0$ ✓ — le contrôle passe.

Des valeurs rondes, ce qui est rare et confortable.

Degré de liberté : $\nu=n-1=7$.

Erreur type :

Demi-largeur :

Intervalle :

Contrôles :

Effet du niveau de confiance. À $95\ \%$ il faudrait $t_{7;\,0{,}975}=2{,}365$, d'où une demi-largeur de $1{,}672$ et l'intervalle $[11{,}33\,;\,14{,}67]$ — $25\ \%$ plus large.

Un intervalle à $90\ \%$ est donc plus précis, mais il se trompe deux fois plus souvent ($10\ \%$ contre $5\ \%$). Le choix du niveau est un arbitrage, pas une convention : on prend $90\ \%$ quand la précision prime, $99\ \%$ quand l'erreur coûte cher.

La chaîne complète depuis les données brutes

$$\overline{x}=\frac1n\sum x_i \ \to\ s^2=\frac{\sum(x_i-\overline{x})^2}{n-1} \ \to\ IC=\left[\overline{x}\pm t_{n-1;\,1-\alpha/2}\frac{s}{\sqrt n}\right]$$

Le quantile selon le niveau — la règle unique

$$\text{quantile}=1-\frac{\alpha}{2}$$

niveau	$\alpha$	quantile	queue de chaque côté
$90\ \%$	$0{,}10$	$\mathbf{0{,}95}$	$5\ \%$
$95\ \%$	$0{,}05$	$\mathbf{0{,}975}$	$2{,}5\ \%$
$99\ \%$	$0{,}01$	$\mathbf{0{,}995}$	$0{,}5\ \%$

⚠️ Le quantile $0{,}95$ correspond donc à un IC à $90\ \%$, pas à $95\ \%$. C'est la confusion n°1 sur les tables de Student.

Quelques valeurs de $t$

$\nu$	$t_{\nu;\,0{,}95}$	$t_{\nu;\,0{,}975}$
$7$	$1{,}895$	$2{,}365$
$9$	$1{,}833$	$2{,}262$
$\infty$	$1{,}645$	$1{,}960$

Contrôle systématique Le centre de l'IC est $\overline{x}$, et l'intervalle doit rester dans un ordre de grandeur compatible avec les données.

⚠️ Croire que le quantile $0{,}95$ est une erreur d'énoncé. Il est correct : le niveau est $90\ \%$, donc $\alpha=0{,}10$ et le quantile vaut $1-0{,}05=0{,}95$. La règle est toujours $1-\dfrac\alpha2$.

⚠️ Diviser par $n$ dans la variance : $\dfrac{28}{8}=3{,}5$ au lieu de $4$. L'énoncé demande un IC, donc une estimation de la population : c'est $n-1$.

⚠️ Prendre $\nu=8$ au lieu de $7$. Le degré de liberté est $n-1$.

⚠️ Se tromper dans la somme des carrés. Le contrôle est la ligne des écarts : elle doit sommer à $0$. Si elle ne le fait pas, la moyenne ou une soustraction est fausse — et il est inutile de continuer.

⚠️ Écrire $\dfrac{s}{\sqrt n}=\dfrac{2}{8}=0{,}25$. C'est $\sqrt{8}=2{,}828$ au dénominateur, donc $0{,}707$.

Le contrôle : l'erreur type doit être du même ordre que $s$ divisé par $2$ ou $3$ pour un petit échantillon, pas dix fois plus petit.

⚠️ Utiliser la loi normale parce que les valeurs sont rondes. $\sigma$ est inconnu et $n=8<30$ : c'est Student.

⚠️ Oublier de conclure. Un IC est un intervalle : donner les deux bornes, pas seulement la demi-largeur.

Le quantile est $1-\dfrac{\alpha}{2}$ : $0{,}95$ pour un IC à $90\ \%$, $0{,}975$ pour $95\ \%$. Le lire au bon endroit est l'erreur la plus fréquente sur les tables.

La somme des écarts vaut $0$ — à vérifier avant de passer aux carrés.

$n-1$ pour la variance, $\nu=n-1$ pour Student. Même quantité, même raison.

Un niveau plus bas donne un intervalle plus étroit mais plus souvent faux. C'est un arbitrage, pas une convention.

$\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}\sim\chi^2_{n-1}$ avec $n-1=19$ ddl.

$\sigma^2$ est au dénominateur $\Rightarrow$ bornes croisées : le grand quantile va au dénominateur de la borne inférieure.

$IC(\sigma^2)=\big[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0{,}975}}\ ;\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{0{,}025}}\big]$.

L'intervalle de confiance d'une variance n'a rien à voir avec celui d'une moyenne, et il faut le savoir avant de commencer.

Trois différences, toutes structurelles :

Pourquoi ce n'est pas symétrique. Une variance est positive, et sa loi est étalée vers la droite : une variance peut être beaucoup plus grande que prévu, jamais négative. L'intervalle hérite de cette dissymétrie.

La formule, et le piège qu'elle contient :

⚠️ Les quantiles sont CROISÉS : le grand quantile ($32{,}85$) donne la borne inférieure, le petit ($8{,}91$) la borne supérieure. C'est logique — on divise, donc diviser par plus grand donne plus petit. Mais l'inversion est l'erreur n°1 de l'exercice, et le contrôle est immédiat : la borne basse doit être plus petite que la borne haute.

Numérateur commun : $(n-1)s^2=19\times 25=475$.

Borne inférieure — on divise par le grand quantile :

Borne supérieure — on divise par le petit :

Contrôles :

La dissymétrie est frappante : le côté droit est près de trois fois plus long que le gauche. Ce n'est pas une anomalie, c'est la forme de la loi du khi-deux.

On prend la racine carrée des deux bornes. C'est licite parce que la racine est une fonction croissante : elle conserve l'ordre.

Contrôle : $s=5$ est bien dans $[3{,}803\,;\,7{,}301]$ ✓

Ce que cet intervalle enseigne, et c'est le vrai enseignement de l'exercice. Sur $20$ mesures, l'écart-type réel peut valoir aussi bien $3{,}8$ que $7{,}3$ — un rapport de près de deux. Autrement dit :

Estimer une dispersion demande beaucoup plus de données qu'estimer une moyenne.

À titre de comparaison, un IC de moyenne sur les mêmes $20$ mesures aurait une demi-largeur d'environ $2{,}34$, soit une précision relative bien meilleure. C'est pourquoi les cartes de contrôle industrielles exigent des échantillons importants avant de conclure quoi que ce soit sur une variabilité.

⚠️ Ne pas prendre la racine de la demi-largeur. L'intervalle de $\sigma$ n'est pas $[\sqrt{14{,}46}\pm\text{quelque chose}]$ : on transforme les bornes, une par une.

IC d'une variance (population normale)

$$IC_{1-\alpha}(\sigma^2)=\left[\frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1;\,1-\alpha/2}}\ ;\ \frac{(n-1)s^2}{\chi^2_{n-1;\,\alpha/2}}\right]$$

⚠️ Quantiles croisés : le grand au dénominateur de la borne basse.

Pourquoi les quantiles sont croisés La quantité $\dfrac{(n-1)s^2}{\sigma^2}$ suit une loi $\chi^2_{n-1}$. En isolant $\sigma^2$, on inverse l'encadrement — et une inversion retourne les inégalités.

IC de l'écart-type

$$IC(\sigma)=\left[\sqrt{\text{borne inf}}\ ;\ \sqrt{\text{borne sup}}\right]$$

La racine est croissante, donc elle conserve l'ordre. On transforme les bornes, pas la largeur.

Une loi dissymétrique Le khi-deux est étalé vers la droite, donc l'IC d'une variance l'est aussi : la borne haute est bien plus éloignée de $s^2$ que la borne basse. Ce n'est pas une erreur de calcul.

Condition d'application Cet IC suppose la population normale, et il y est sensible — bien plus que l'IC d'une moyenne, que le théorème central limite protège. À ne pas employer sur des données manifestement non normales.

Contrôles systématiques Bornes dans le bon ordre · $s^2$ dans l'intervalle · dissymétrie visible.

⚠️ Ne pas croiser les quantiles : diviser par $8{,}91$ pour la borne basse et par $32{,}85$ pour la haute. On obtiendrait $[53{,}31\,;\,14{,}46]$ — un intervalle à l'envers.

Le contrôle : la borne basse doit être plus petite que la haute. Une inversion se voit immédiatement.

⚠️ Utiliser $n$ au lieu de $n-1$ au numérateur et en degré de liberté : $20\times 25=500$ donnerait $[15{,}22\,;\,56{,}12]$. C'est $\chi^2_{19}$, pas $\chi^2_{20}$, et $(n-1)s^2$, pas $ns^2$.

⚠️ Ajouter et retrancher une demi-largeur comme pour une moyenne. L'IC d'une variance est un quotient, et il est dissymétrique — la forme $\pm$ ne s'y applique pas.

⚠️ Élever au carré au lieu de prendre la racine pour passer à $\sigma$. On part de $\sigma^2$ et on va vers $\sigma$ : c'est la racine.

Le contrôle : $s=5$ doit être dans l'intervalle de $\sigma$. Avec des carrés on obtiendrait $[209\,;\,2842]$, sans rapport.

⚠️ S'inquiéter de la dissymétrie et chercher une erreur. Elle est normale : le khi-deux est une loi asymétrique.

⚠️ Arrondir trop tôt. $\dfrac{475}{8{,}91}=53{,}3109$, qui s'arrondit à $53{,}31$ — pas $53{,}33$. Un centième d'écart sur une borne se propage à la racine.

Les quantiles sont CROISÉS : le grand donne la borne basse. Le contrôle est l'ordre des bornes.

L'IC d'une variance est un QUOTIENT, dissymétrique. La forme $\pm$ de la moyenne ne s'y applique pas, et la dissymétrie n'est pas une erreur.

Pour l'écart-type, on prend la racine DES BORNES — la racine est croissante, l'ordre est conservé.

Estimer une dispersion demande beaucoup de données : ici $20$ mesures ne suffisent qu'à situer $\sigma$ entre $3{,}8$ et $7{,}3$.

$f=k/n$ est l'estimation ponctuelle.

Demi-largeur $=1{,}96\sqrt{f(1-f)/n}$.

Conditions : $n\geq 30$, $nf\geq 5$, $n(1-f)\geq 5$.

Intervalle de confiance d'une proportion — la formule dont l'écart-type se calcule à partir des données, sans qu'aucun $\sigma$ ne soit donné.

L'énoncé pose deux questions, pas une. La seconde — « les conditions sont-elles réunies ? » — vaut autant que le calcul : appliquer une formule sans vérifier son domaine de validité est une faute de méthode, pas un oubli.

Les trois conditions garantissent que la binomiale sous-jacente est assez proche d'une normale :

Attention à ne pas les évaluer de mémoire : $nf$ et $n(1-f)$ sont les effectifs observés dans chaque catégorie — ici $50$ satisfaits et $150$ non satisfaits. Ce sont des nombres qu'on lit dans l'énoncé, pas des produits à recalculer.

Vérification des conditions :

Les trois sont largement remplies : l'approximation normale est légitime.

ℹ️ $nf=50$ et $n(1-f)=150$ sont exactement les deux effectifs de l'énoncé — les satisfaits et les autres. C'est le sens concret de ces conditions : il faut au moins cinq individus dans chaque catégorie.

Demi-largeur :

soit de $19{,}0\ \%$ à $31{,}0\ \%$ de clients satisfaits.

Contrôles :

Lecture. La marge est de $\pm 6$ points pour $200$ personnes — c'est large. On sait que le taux de satisfaction est mauvais (bien en dessous de $50\ \%$), mais on ne peut pas distinguer $20\ \%$ de $30\ \%$, ce qui change pourtant beaucoup pour une entreprise.

Vérification par la règle mentale : la marge vaut environ $\dfrac{1}{\sqrt{n}}=\dfrac{1}{14{,}1}=0{,}071$ dans le pire des cas ($f=0{,}5$). Ici $f=0{,}25$ est plus favorable, d'où $0{,}060<0{,}071$ ✓

IC d'une proportion

$$IC_{1-\alpha}=\left[f\pm u\sqrt{\frac{f(1-f)}{n}}\right] \qquad u=1{,}96 \text{ à } 95\ \%$$

Les trois conditions, et leur sens

$$n\geq 30 \qquad nf\geq 5 \qquad n(1-f)\geq 5$$

$nf$ et $n(1-f)$ sont les effectifs des deux catégories. La règle dit donc : au moins cinq individus de chaque côté. Sans cela la binomiale est trop dissymétrique pour ressembler à une cloche, et c'est la loi de Poisson ou un calcul exact qu'il faut.

L'effet de $f$ sur la précision $f(1-f)$ est maximal en $0{,}5$ :

$f$	$\sqrt{f(1-f)}$	marge relative
$0{,}5$	$0{,}500$	maximale
$0{,}25$ ou $0{,}75$	$0{,}433$	$-13\ \%$
$0{,}1$ ou $0{,}9$	$0{,}300$	$-40\ \%$

Une proportion extrême s'estime plus précisément qu'une proportion proche de la moitié.

Règle mentale

$$\text{marge}\lesssim\frac{1}{\sqrt n}$$

($1{,}96\times 0{,}5\approx 1$). Pour $n=200$ : au plus $7$ points.

⚠️ Ne pas vérifier les conditions. L'énoncé les demande explicitement — c'est une question à part entière, et la réponse doit citer les trois inégalités avec leurs valeurs.

⚠️ Oublier le $n$ sous la racine : $\sqrt{0{,}1875}=0{,}433$ donnerait $[-0{,}60\,;\,1{,}10]$.

Le contrôle : une proportion est dans $[0;1]$. Des bornes hors de cet intervalle arrêtent le calcul immédiatement.

⚠️ Écrire $f=50$. La fréquence est un rapport, ici $0{,}25$. L'effectif est $50$.

⚠️ Calculer $f(1-f)$ comme $f^2$ : $0{,}25^2=0{,}0625$ au lieu de $0{,}1875$. Le second facteur est le complément à $1$, soit $0{,}75$.

⚠️ Utiliser $\sqrt{nf(1-f)}=\sqrt{37{,}5}=6{,}12$, qui est l'écart-type de l'effectif et non de la fréquence. Un écart-type de $6{,}12$ à comparer à une fréquence de $0{,}25$ : l'incohérence d'échelle est visible.

⚠️ Confondre marge et intervalle. La marge est $0{,}060$ ; l'intervalle est $[0{,}190\,;\,0{,}310]$. L'énoncé demande l'intervalle.

⚠️ Conclure « donc $25\ \%$ des clients sont satisfaits ». L'échantillon donne $25\ \%$ ; la population est quelque part entre $19\ \%$ et $31\ \%$. C'est toute la différence entre observer et estimer.

Les conditions se vérifient et s'écrivent : $nf$ et $n(1-f)$ sont les effectifs des deux catégories, il en faut au moins cinq de chaque.

Le $n$ est SOUS la racine. Sans lui, les bornes sortent de $[0;1]$ — contrôle immédiat.

$f(1-f)$, pas $f^2$.

Une proportion extrême s'estime plus précisément qu'une proportion proche de $0{,}5$ : $f(1-f)$ y est plus petit.

Demi-largeur $=1{,}96\sqrt{f(1-f)/n}\leq d$.

Le cas le plus défavorable est $f=0{,}5$ (qui maximise $f(1-f)=0{,}25$).

Isoler $n\geq\big(\frac{1{,}96\times 0{,}5}{d}\big)^2$.