Exercices corrigés — Systèmes différentiels & stabilité

Valeurs propres : $\det(A-\lambda I)=0$, soit $(1-\lambda)^2-4=0$.

Vecteurs propres pour chaque $\lambda$.

Solution générale $\vec X=c_1e^{\lambda_1t}\vec v_1+c_2e^{\lambda_2t}\vec v_2$.

$(1-\lambda)^2-4=0\Rightarrow 1-\lambda=\pm2\Rightarrow\lambda_1=3,\ \lambda_2=-1$.

$\lambda=3$ : $(A-3I)\vec v=0\Rightarrow\vec v_1=\binom11$. $\lambda=-1$ : $\vec v_2=\binom1{-1}$.

$\vec X(t)=c_1e^{3t}\binom11+c_2e^{-t}\binom1{-1}$.

$x_1'=x_2$ et $x_2'=y''=-3y'-2y=-2x_1-3x_2$.

La matrice est $\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}$.

Valeurs propres = racines de $\lambda^2+3\lambda+2=0$.

$A=\begin{pmatrix}0&1\\-2&-3\end{pmatrix}$, équation caractéristique $\lambda^2+3\lambda+2=0\Rightarrow\lambda=-1,-2$.

$\lambda=-1$ : $\vec v_1=\binom1{-1}$ ; $\lambda=-2$ : $\vec v_2=\binom1{-2}$.

$\vec X(t)=c_1e^{-t}\binom1{-1}+c_2e^{-2t}\binom1{-2}$, soit $y=c_1e^{-t}+c_2e^{-2t}$.

$\det(A-\lambda I)=\lambda^2-5\lambda+6$.

Racines $\lambda=2,3$.

Vecteurs propres puis combinaison.

$\lambda^2-(\operatorname{tr}A)\lambda+\det A=\lambda^2-5\lambda+6=0\Rightarrow\lambda=2,3$.

$\lambda=2$ : $(A-2I)=\begin{pmatrix}2&-2\\1&-1\end{pmatrix}\Rightarrow\vec v_1=\binom11$. $\lambda=3$ : $\vec v_2=\binom21$.

$\vec X(t)=c_1e^{2t}\binom11+c_2e^{3t}\binom21$.

Solution générale connue (exo A1) : $c_1e^{3t}\binom11+c_2e^{-t}\binom1{-1}$.

Imposer $t=0$ : $c_1\binom11+c_2\binom1{-1}=\binom13$.

Résoudre $c_1+c_2=1$, $c_1-c_2=3$.

$c_1+c_2=1$ et $c_1-c_2=3\Rightarrow c_1=2,\ c_2=-1$.

$\vec X(t)=2e^{3t}\binom11-e^{-t}\binom1{-1}$.

Matrice symétrique : vp réelles, vecteurs propres orthogonaux.

$(3-\lambda)^2-1=0$.

$\lambda=4$ et $\lambda=2$.

$(3-\lambda)^2-1=0\Rightarrow\lambda=4,2$.

$\lambda=4$ : $\vec v_1=\binom11$ ; $\lambda=2$ : $\vec v_2=\binom1{-1}$ (orthogonaux).

$\vec X(t)=c_1e^{4t}\binom11+c_2e^{2t}\binom1{-1}$.

$x_1=y$, $x_2=y'$ : $A=\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}$.

Caractéristique $\lambda^2-\lambda-2=0$.

$\lambda=2,-1$ ; vecteur propre $\binom1\lambda$.

$A=\begin{pmatrix}0&1\\2&1\end{pmatrix}$, $\lambda^2-\lambda-2=0\Rightarrow\lambda=2,-1$.

$\vec v=\binom1\lambda$ : $\binom12$ pour $\lambda=2$, $\binom1{-1}$ pour $\lambda=-1$.

$\vec X=c_1e^{2t}\binom12+c_2e^{-t}\binom1{-1}$, soit $y=c_1e^{2t}+c_2e^{-t}$.

$\det(A-\lambda I)=\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=\pm i$.

Pas d'amortissement ($\operatorname{Re}\lambda=0$) : oscillations entretenues.

Chercher $\vec X=\binom{\cos t}{\sin t}$ et $\binom{-\sin t}{\cos t}$.

$\lambda^2+1=0\Rightarrow\lambda=\pm i$ : imaginaires pures.

$\vec X(t)=c_1\binom{\cos t}{\sin t}+c_2\binom{-\sin t}{\cos t}$.

$x^2+y^2$ est constant : trajectoires circulaires (centre).

$\lambda^2-2\lambda+2=0\Rightarrow\lambda=1\pm i$.

$\operatorname{Re}\lambda=1$ : facteur $e^{t}$ ; $\operatorname{Im}=1$ : $\cos t,\sin t$.

Forme $e^{t}(\cos t,\sin t)$ combinée.

$\operatorname{tr}A=2$, $\det A=2$ : $\lambda^2-2\lambda+2=0\Rightarrow\lambda=1\pm i$.

$\vec X(t)=e^{t}\Big(c_1\binom{\cos t}{\sin t}+c_2\binom{-\sin t}{\cos t}\Big)$.

$\lambda^2+2\lambda+5=0$.

$\lambda=-1\pm2i$.

Facteur $e^{-t}$, pulsation $2$.

$\operatorname{tr}A=-2$, $\det A=5$ : $\lambda=-1\pm2i$.

$\vec X(t)=e^{-t}\Big(c_1\binom{\cos 2t}{\sin 2t}+c_2\binom{-\sin 2t}{\cos 2t}\Big)$.

Solution générale (exo B1).

Imposer $\vec X(0)=\binom10$.

$c_1\binom10+c_2\binom01=\binom10$.

À $t=0$ : $c_1\binom{1}{0}+c_2\binom{0}{1}=\binom10\Rightarrow c_1=1,\ c_2=0$.

$\vec X(t)=\binom{\cos t}{\sin t}$.

$A=PDP^{-1}$ avec $D=\operatorname{diag}(3,-1)$ (exo A1).

$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}$, $e^{tD}=\operatorname{diag}(e^{3t},e^{-t})$.

$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$, $P^{-1}=\tfrac12\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$.

$P=\begin{pmatrix}1&1\\1&-1\end{pmatrix}$, $e^{tD}=\begin{pmatrix}e^{3t}&0\\0&e^{-t}\end{pmatrix}$.

$e^{tA}=Pe^{tD}P^{-1}=\dfrac12\begin{pmatrix}e^{3t}+e^{-t}&e^{3t}-e^{-t}\\ e^{3t}-e^{-t}&e^{3t}+e^{-t}\end{pmatrix}$.

Solution générale (exo A5).

$c_1\binom11+c_2\binom1{-1}=\binom20$.

$c_1+c_2=2$, $c_1-c_2=0$.

$c_1+c_2=2$ et $c_1-c_2=0\Rightarrow c_1=c_2=1$.

$\vec X(t)=e^{4t}\binom11+e^{2t}\binom1{-1}$.

Matrice triangulaire : vp sur la diagonale $\lambda=1,2$.

$\lambda=1$ : $\vec v=\binom10$ ; $\lambda=2$ : résoudre $(A-2I)\vec v=0$.

Combiner.

Triangulaire $\Rightarrow\lambda=1,2$.

$\lambda=1$ : $\binom10$. $\lambda=2$ : $(A-2I)=\begin{pmatrix}-1&1\\0&0\end{pmatrix}\Rightarrow\binom11$.

$\vec X(t)=c_1e^{t}\binom10+c_2e^{2t}\binom11$.

$\lambda^2-4\lambda+5=0$.

$\lambda=2\pm i$.

$\operatorname{Re}\lambda=2>0$.

$\operatorname{tr}A=4$, $\det A=5$ : $\lambda=2\pm i$.

$\vec X(t)=e^{2t}\Big(c_1\binom{\cos t}{\sin t}+c_2\binom{-\sin t}{\cos t}\Big)$.

Vérifier $M(0)=I$.

Vérifier $M'(t)=A\,M(t)$.

L'unicité du problème $M'=AM$, $M(0)=I$ caractérise $e^{tA}$.

$M(0)=\begin{pmatrix}1&0\\0&1\end{pmatrix}=I$ ✓.

$M'(t)=\begin{pmatrix}-\sin t&-\cos t\\ \cos t&-\sin t\end{pmatrix}$ et $A\,M(t)=\begin{pmatrix}0&-1\\1&0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}\cos t&-\sin t\\ \sin t&\cos t\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}-\sin t&-\cos t\\ \cos t&-\sin t\end{pmatrix}$ : égaux ✓.

Solution générale (exo E1).

$c_1\binom10+c_2\binom11=\binom01$.

$c_1+c_2=0$, $c_2=1$.

$c_2=1$ (2ᵉ ligne) et $c_1+c_2=0\Rightarrow c_1=-1$.

$\vec X(t)=-e^{t}\binom10+e^{2t}\binom11=\binom{e^{2t}-e^{t}}{e^{2t}}$.

$x_1=x$, $x_2=x'$ : $A=\begin{pmatrix}0&1\\-5&-2\end{pmatrix}$.

Caractéristique $\lambda^2+2\lambda+5=0$.

Discriminant $<0$ → oscillations amorties.

$A=\begin{pmatrix}0&1\\-5&-2\end{pmatrix}$, $\lambda^2+2\lambda+5=0$.

$\lambda=-1\pm2i$ : $\operatorname{Re}\lambda=-1<0$.

Solutions $x(t)=e^{-t}(c_1\cos2t+c_2\sin2t)$ : oscillations amorties.

$\lambda^2+4\lambda+3=0$.

$\lambda=-1,-3$.

Les deux vp $<0$ : tout tend vers $0$.

$\operatorname{tr}A=-4$, $\det A=3$ : $\lambda=-1,-3$.

$\lambda=-1$ : $\binom11$ ; $\lambda=-3$ : $\binom1{-1}$.

$\vec X(t)=c_1e^{-t}\binom11+c_2e^{-3t}\binom1{-1}\to\binom00$.