Sujet et corrigé — CAPES externe bac+3 — Sujet zéro, épreuve écrite 2 (mai 2025)

Exercice 1 — exactitude. Remplacer dans $(\Sigma)$ le triplet que la réponse propose pour $t=0$. Calculer ensuite le déterminant de la matrice de $(\Sigma)$ : combien de solutions un tel système peut-il avoir ? Enfin, comparer la troisième équation de $(\Sigma_1)$ aux deux premières.

Exercice 1 — critique de la rédaction. Écrire chaque opération sous la forme $L_i\leftarrow\dots$ en précisant si « (1) » désigne l'équation d'origine ou la nouvelle. Puis écrire, entre $(\Sigma)$ et $(\Sigma_1)$, le connecteur que la réponse suppose : $\Longrightarrow$ ou $\iff$ ?

Exercice 1 — réponse rédigée. Garder l'équation (1) et éliminer $x$ des deux autres en ne combinant chacune qu'avec (1) : on obtient directement $z$ et $y$. Conclure par l'ensemble des solutions.

Exercice 2 — exactitude. Sur quel ensemble la fonction $f$ est-elle définie ? Comparer $f(-2)$ et $f(0)$. Puis chercher une suite convergente qui n'est pas majorée par sa limite.

Exercice 2 — critique de la rédaction. Relire chaque objet : $f$ ou $f(x)$ ? Les fonctions $u$ et $v$ sont-elles définies ? D'où vient le numérateur $2-1$ ? Pour quels réels $x$ l'inégalité $\frac{1}{(x+1)^2}>0$ est-elle affirmée ?

Exercice 2 — réponse rédigée. Écrire $2n+1=2(n+1)-1$ pour obtenir $u_n=2-\frac{1}{n+1}$ : la croissance et la majoration se lisent alors sans dérivée.

Exercice 3 — exactitude. Calculer $Q_1$ et $Q_2$ avec la formule telle qu'elle est écrite. Le terme sommé dépend-il de $k$ ? Puis se demander ce que le dessin établit pour un entier $n$ quelconque, et pour la limite.

Exercice 3 — critique de la rédaction. Que faudrait-il écrire pour qu'un lecteur comprenne le dessin : l'aire du grand carré, ce que représente chaque zone, ce qui se passe après la dernière zone dessinée ?

Exercice 3 — réponse rédigée. Signaler la coquille et traiter les deux lectures. Pour la somme voulue, utiliser la somme des termes d'une suite géométrique de raison $\frac12$ (attention au premier indice), puis la limite de $\left(\frac12\right)^n$.

Trois exercices de première année, trois réponses fournies qui n'établissent pas ce qu'elles annoncent — et trois défauts de nature différente. Les calculs sont courts. Ce que la partie teste, c'est la capacité à lire une démonstration comme on lit une copie : juger la conclusion, localiser l'étape qui cède, dire ce qui permet de la repérer, puis rédiger soi-même une réponse complète.

Les trois consignes n'appellent pas le même travail.

• Consigne 1 (exactitude). Trois questions, dans cet ordre. La conclusion est-elle vraie ? Cela se juge indépendamment de la réponse : une substitution, un déterminant, un calcul direct. Où est la première étape fausse ? La nommer : implication lue à l'envers, théorème appliqué hors de ses hypothèses, affirmation générale fausse ; deux valeurs d'une fonction suffisent parfois à la réfuter. Quels éléments permettent de repérer l'erreur ? C'est la partie propre à ce sujet : la consigne demande de dire comment on s'en aperçoit — le test qui réfute, le calcul qui alerte.
• Consigne 2 (rédaction). La forme : objets définis ($f$ ou $f(x)$ ?), quantificateurs écrits, connecteurs justifiés, théorèmes cités avec leurs conditions, conclusion écrite. Elle se distingue de la consigne 1 sans en être indépendante : dans l'exercice 1, une rédaction qui aurait écrit une équivalence à chaque étape aurait dû justifier chacune ; c'est en justifiant la troisième qu'on voit qu'elle ne tient pas.
• Consigne 3 (rédaction d'une réponse correcte). Une réponse complète au niveau attendu d'un professeur : hypothèses nommées, résultats cités, quantificateurs écrits, conclusion explicite.

Avant de juger la réponse de l'exercice 3, lire son énoncé. Le terme sommé, $\frac{1}{2^n}$, ne dépend pas de l'indice $k$ : lu à la lettre, l'assertion à démontrer est fausse. Relever cette coquille fait partie de la consigne 1, et la réponse rédigée doit traiter les deux lectures — l'énoncé écrit, puis l'énoncé rectifié.

Cinq réflexes trouvent l'essentiel des fautes de cette partie.

• Tester chaque affirmation sur un cas : le triplet obtenu pour $t=0$, qui réfute la conclusion (exercice 1) ; les valeurs $f(-2)$ et $f(0)$, qui réfutent l'étape « $f$ est croissante » (exercice 2) ; $Q_2$ calculé avec la formule écrite, qui trahit la coquille de l'énoncé (exercice 3). Un test sur un cas peut réfuter une affirmation générale ; il ne la prouve jamais.
• Compter avant de calculer : un système carré dont le déterminant est non nul a une solution et une seule ; une famille infinie de solutions est alors impossible.
• Relire le sens de chaque « donc » : une suite de combinaisons établit toujours une implication de $(\Sigma)$ vers le nouveau système ; elle établit aussi la réciproque, donc une équivalence, quand chaque opération peut être défaite — l'équation qui sert d'outil reste en place, l'équation remplacée garde un coefficient non nul —, comme dans la réponse rédigée de l'exercice 1. Sinon, la réciproque reste à démontrer : dans la réponse fournie, la troisième opération ne peut pas être défaite, et le rang tombe de $3$ à $2$.
• Vérifier les hypothèses d'un théorème : le signe de la dérivée ne donne le sens de variation que sur un intervalle.
• Distinguer illustrer et démontrer : un dessin montre un nombre fini de cas ; « pour tout $n$ » et « la limite vaut $1$ » demandent une preuve.

Enfin, une critique dit aussi ce qui est juste : les calculs de l'exercice 1 sont exacts, les conclusions de l'exercice 2 aussi, et l'idée du dessin de l'exercice 3 est la bonne — les réponses rédigées montrent comment les réutiliser.

Ce que ça teste. La résolution d'un système linéaire par combinaisons de lignes, c'est-à-dire la méthode du pivot de Gauss (Matrices et systèmes) : quelles opérations conservent l'ensemble des solutions. Et le sens d'une implication, condition nécessaire contre condition suffisante (Raisonnement).

La réponse est-elle exacte ? Non. Elle annonce une infinité de solutions, les triplets $(t,\frac32-t,-\frac32-t)$ pour $t\in\mathbb{R}$. Or $(\Sigma)$ a une solution et une seule, $(-1,\frac52,-\frac12)$ (voir l'entrée « réponse rédigée »).

Les éléments qui permettent de repérer l'erreur, du plus rapide au plus complet.

1. Tester un triplet de la famille. Pour $t=0$, la réponse propose $(0,\frac32,-\frac32)$. Alors $x+y+z=0\neq1$ : l'équation (1) n'est pas vérifiée — ni les deux autres, puisque $x+y-z=3\neq2$ et $-x+y-z=3\neq4$. Un seul triplet faux suffit à réfuter « pour tout $t$ ».
2. Compter les solutions possibles. La matrice $A$ de $(\Sigma)$ a pour déterminant $\det A=4\neq0$ (calcul dans l'entrée « réponse rédigée »). Un système carré a une solution unique si et seulement si le déterminant de sa matrice est non nul (Matrices et systèmes) : $(\Sigma)$ a exactement une solution, et une famille infinie de solutions est impossible, avant même de résoudre.
3. Examiner $(\Sigma_1)$. Sa troisième équation est la différence des deux premières : $(2x+2y)-(2y-2z)=2x+2z$, et $3-6=-3$. Le système $(\Sigma_1)$ ne contient donc que deux équations indépendantes (il est de rang $2$), alors que $(\Sigma)$ en contient trois (rang $3$) : une information a été perdue en route.
4. Remplacer toute la famille dans $(\Sigma)$. Les trois équations deviennent $-t=1$, $3+t=2$ et $3-t=4$ : chacune impose $t=-1$. La famille contient donc exactement une solution de $(\Sigma)$, celle obtenue pour $t=-1$, qui est $(-1,\frac52,-\frac12)$.

Où sont les erreurs. Il y en a deux, et c'est la seconde qui produit la conclusion fausse.

Première erreur : les trois combinaisons ne donnent pas un système équivalent à $(\Sigma)$. On note $L_1$, $L_2$, $L_3$ les équations (1), (2), (3). La réponse remplace $(L_1,L_2,L_3)$ par $(L_1+L_2,\ L_2+L_3,\ L_1-L_3)$. Chacune de ces trois équations est une conséquence de $(\Sigma)$ : toute solution de $(\Sigma)$ est solution de $(\Sigma_1)$. La réciproque, elle, est fausse. Une opération sur les lignes conserve l'ensemble des solutions quand on peut la défaire : dans le système courant, remplacer $L_i$ par $\alpha L_i+\beta L_j$, avec $\alpha\neq0$ et $j\neq i$, où $L_j$ est une équation du système courant, qui reste en place — on retrouve alors $L_i$ à partir de la nouvelle équation et de $L_j$. Effectuées l'une après l'autre, chacune sur le système obtenu à l'étape précédente, les deux premières opérations respectent cette règle : $L_1\leftarrow L_1+L_2$ garde $L_2$, puis $L_2\leftarrow L_2+L_3$ garde $L_3$. La troisième non : elle utilise l'équation (1) d'origine, qui ne figure plus dans le système, puisque la première opération l'a remplacée par $L_1+L_2$. Et en effet

La nouvelle troisième équation se déduit des deux nouvelles premières : elle n'apporte rien. En termes matriciels, la matrice augmentée de $(\Sigma_1)$ s'obtient en multipliant à gauche celle de $(\Sigma)$ par

Cette transformation n'est pas inversible : on ne peut pas remonter de $(\Sigma_1)$ à $(\Sigma)$. Par exemple, l'équation (1) n'est pas une combinaison linéaire des équations de $(\Sigma_1)$.

Seconde erreur : « solution de $(\Sigma_1)$ donc de $(\Sigma)$ » est l'implication à l'envers. Ce que les combinaisons établissent, c'est : si $(x,y,z)$ est solution de $(\Sigma)$, alors il est solution de $(\Sigma_1)$. Autrement dit, l'ensemble des solutions de $(\Sigma)$ est inclus dans celui de $(\Sigma_1)$, qui est la droite formée des triplets $(t,\frac32-t,-\frac32-t)$. La réponse conclut l'inclusion inverse, qui demanderait que $(\Sigma_1)$ entraîne $(\Sigma)$ — précisément ce que la première erreur a rendu faux. C'est une condition nécessaire prise pour une condition suffisante : la même faute que résoudre une équation par implications sans vérifier les solutions trouvées.

Les pièges pour qui critique.

• S'arrêter au contre-exemple $t=0$. Il prouve que la conclusion est fausse ; la consigne demande aussi de repérer l'erreur, donc de dire quelle étape cède et pourquoi.
• Accuser les calculs. Les trois combinaisons sont justes, $(\Sigma_1)$ est correctement calculé, et la famille décrit bien toutes ses solutions. Ce qui est faux, c'est le statut logique de $(\Sigma_1)$ : une conséquence de $(\Sigma)$, pas un système équivalent.
• Tout jeter. L'inclusion correcte — les solutions de $(\Sigma)$ sont sur la droite — est une vraie information : complétée par la vérification des triplets de la famille, elle donne la réponse (voir la variante de l'entrée « réponse rédigée »).

Recoupement. La solution $(-1,\frac52,-\frac12)$ vérifie bien les trois équations de $(\Sigma_1)$ : $2x+2y=3$, $2y-2z=6$ et $2x+2z=-3$ — c'est l'inclusion correcte. Elle correspond à $t=-1$ dans la famille. Le déterminant $\det A=4$, le rang $2$ de $(\Sigma_1)$ et $\det T=0$ sont certifiés par la machine.

Ce que ça teste. Rédiger une résolution de système : opérations nommées, systèmes successifs reliés par des équivalences justifiées, conclusion par l'ensemble des solutions (Matrices et systèmes).

Les critiques, dans l'ordre de la réponse.

• Les opérations sont décrites en mots, et « (1) » devient ambigu. Après « on remplace l'équation (1) par l'équation obtenue », que désigne « (1) » dans la troisième opération : l'équation d'origine, ou la nouvelle ? La réponse utilise l'ancienne — sa troisième équation, $2x+2z=-3$, est $L_1-L_3$ avec l'équation (1) d'origine ; avec la nouvelle, $L_1+L_2$, on aurait obtenu $3x+y+z=-1$. Une notation comme $L_3\leftarrow L_1-L_3$, et l'écriture de chaque système intermédiaire, lèvent l'ambiguïté et rendent visible l'équation perdue.
• Aucun connecteur entre $(\Sigma)$ et $(\Sigma_1)$. Le passage d'un système à l'autre n'est ni une équivalence justifiée, ni même annoncé comme une implication : le lecteur ne sait pas ce qui est affirmé. Écrire $(\Sigma)\iff(\Sigma_1)$ aurait obligé à justifier l'équivalence — et à constater qu'elle est fausse.
• La famille arrive sans calcul. « pour tout $t$ dans $\mathbb{R}$, le triplet […] est solution » : ni le choix du paramètre ($x=t$), ni le calcul de $y$ et de $z$ à partir de $(\Sigma_1)$, ni la vérification ne sont écrits.
• « donc » sans justification. Un « donc » entre deux systèmes se justifie par les opérations qui le fondent ; ici il n'en a aucune, et c'est lui qui porte l'erreur de fond.
• Pas de conclusion. « Résoudre » demande l'ensemble des solutions, écrit comme un ensemble, avec l'ensemble où l'on cherche les inconnues : $\mathcal{S}=\{\dots\}\subset\mathbb{R}^3$. La réponse s'arrête sur une phrase.
• Aucun contrôle. Un système de trois équations à trois inconnues dont on trouve une infinité de solutions devrait alerter : calculer le déterminant, ou substituer un triplet de la famille, prend une ligne.

Ce qui est bien. L'idée de combiner les lignes est la bonne, les trois combinaisons sont exactes, et la famille décrit exactement les solutions de $(\Sigma_1)$. La critique porte sur la manière d'enchaîner les étapes, pas sur les calculs.

Les pièges pour qui critique. Séparer la forme (consigne 2) du fond (consigne 1), sans perdre de vue qu'ils se rejoignent ici : l'ambiguïté sur « (1) » et l'absence de connecteurs sont exactement ce qui a laissé passer l'erreur.

Recoupement. La famille est bien l'ensemble des solutions de $(\Sigma_1)$ : de $2x+2y=3$ on tire $y=\frac32-x$, puis de $2y-2z=6$, $z=y-3=-\frac32-x$ ; la troisième équation, $2x+2z=2x-3-2x=-3$, est alors automatiquement vérifiée. Avec $x=t$, on retrouve le triplet de la réponse. La phrase finale est donc juste pour $(\Sigma_1)$ ; seul le « donc de $(\Sigma)$ » est faux. Valeurs certifiées par la machine.

Ce que ça teste. La méthode du pivot de Gauss rédigée par équivalences, avec des opérations qui conservent l'ensemble des solutions (Matrices et systèmes).

La rédaction attendue.

On cherche les triplets $(x,y,z)$ de réels solutions de $(\Sigma)$. On note $L_1$, $L_2$, $L_3$ les équations (1), (2), (3). On conserve $L_1$ et on effectue $L_2\leftarrow L_2-L_1$ et $L_3\leftarrow L_3+L_1$. Ces deux opérations peuvent être faites en même temps, car elles n'utilisent que $L_1$, qui reste dans le système : on retrouve $L_2$ et $L_3$ en ajoutant ou en retranchant $L_1$ aux nouvelles équations. Le nouveau système est donc équivalent à $(\Sigma)$ :

et, en remontant, $x=1-\frac52+\frac12=-1$.

Conclusion : l'ensemble des solutions de $(\Sigma)$ est $\mathcal{S}=\left\{\left(-1,\frac{5}{2},-\frac{1}{2}\right)\right\}$.

Chaque étape étant une équivalence, la vérification n'est pas logiquement nécessaire ; elle ne coûte rien : $-1+\frac52-\frac12=1$, $-1+\frac52+\frac12=2$ et $1+\frac52+\frac12=4$.

Variante : le déterminant d'abord. La matrice de $(\Sigma)$ est

En développant selon la première ligne,

Comme $\det A\neq0$, $(\Sigma)$ a une solution unique, que donnent par exemple les formules de Cramer : les trois déterminants obtenus en remplaçant une colonne de $A$ par la colonne des seconds membres valent $-4$, $10$ et $-2$, d'où $x=\frac{-4}{4}=-1$, $y=\frac{10}{4}=\frac52$ et $z=\frac{-2}{4}=-\frac12$.

Variante : réparer la réponse fournie par une analyse-synthèse. Ses calculs sont justes ; il suffit de rétablir le sens de l'implication et d'ajouter la synthèse.

Analyse. Soit $(x,y,z)$ une solution de $(\Sigma)$. En ajoutant ou en soustrayant ses équations, on obtient les trois équations de $(\Sigma_1)$ : $(x,y,z)$ est solution de $(\Sigma_1)$. De $2x+2y=3$ on tire $y=\frac32-x$, puis de $2y-2z=6$, $z=-\frac32-x$ : en posant $t=x$, le triplet s'écrit $(t,\frac32-t,-\frac32-t)$.

Synthèse. Un triplet de cette forme vérifie les équations (1), (2), (3) si et seulement si $-t=1$, $3+t=2$ et $3-t=4$, c'est-à-dire si et seulement si $t=-1$.

Conclusion. $\mathcal{S}=\left\{\left(-1,\frac52,-\frac12\right)\right\}$.

Les pièges.

• Combiner des équations déjà remplacées. Faire plusieurs opérations « en même temps » est sûr dès que chaque opération est de la forme $L_i\leftarrow\alpha L_i+\beta L_j$, avec $\alpha\neq0$ et $j\neq i$, et que chaque équation qui sert d'outil reste inchangée dans le système, comme $L_1$ ci-dessus ; dans le doute, on effectue les opérations une par une, en écrivant chaque système.
• Présenter un résultat sans vérification après un raisonnement par implications. Ou bien chaque étape est une équivalence justifiée, ou bien on vérifie les candidats obtenus.
• Oublier la conclusion. « Résoudre » demande l'ensemble des solutions, écrit comme un ensemble.

Recoupement indépendant. Les formules de Cramer (déterminants $-4$, $10$, $-2$, divisés par $\det A=4$), la substitution dans $(\Sigma)$ et la valeur $t=-1$ de la famille donnent le même triplet. Toutes ces valeurs sont certifiées par la machine.

Ce que ça teste. La monotonie d'une suite définie par une formule $u_n=f(n)$ ; le lien entre le signe de la dérivée et le sens de variation, qui n'est valable que sur un intervalle (Fonctions d'une variable réelle, section E ; Dérivation) ; la limite d'une suite et le théorème de la limite monotone (Réels et suites).

La réponse est-elle exacte ? Les deux conclusions le sont, aucune des deux justifications ne l'est. La suite est bien croissante (et même strictement) et majorée, par $2$ : c'est démontré dans l'entrée « réponse rédigée ». Mais :

a) « Donc $f(x)$ est croissante » est faux tel que c'est écrit. La fonction $f$ est définie sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, et la réponse ne précise aucun intervalle : l'affirmation porte donc sur tout l'ensemble de définition. Or $f$ n'y est pas croissante : $f(-2)=3$ et $f(0)=1$, alors que $-2<0$. Le résultat « $f'>0$ sur $I$, donc $f$ strictement croissante sur $I$ » exige que $I$ soit un intervalle, et $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$ n'en est pas un. Ce qui est vrai : $f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}>0$ pour tout $x\neq-1$, donc $f$ est strictement croissante sur l'intervalle $]-1,+\infty[$ ; comme $\mathbb{N}\subset\,]-1,+\infty[$ et $u_n=f(n)$ pour tout $n$, on en déduit $u_n<u_{n+1}$. Ce sont ces deux phrases qui manquent : la réponse ne dit ni sur quel intervalle, ni que $u_n=f(n)$.

b) « la suite est majorée par sa limite » est affirmé sans justification, et faux en général. La suite $v_n=\frac{1}{n+1}$ converge vers $0$, alors que $v_0=1>0$ : une suite convergente n'est pas toujours majorée par sa limite. L'affirmation est vraie ici parce que $(u_n)$ est croissante : si une suite croissante converge vers $\ell$, alors $u_n\leqslant\ell$ pour tout $n$ (voir la réponse rédigée). La réponse n'invoque ni la croissance établie en a), ni ce résultat. La limite elle-même, $\lim u_n=2$, est écrite sans calcul, alors que $2n+1$ et $n+1$ tendent tous deux vers $+\infty$ : c'est une forme indéterminée, qu'il faut lever.

Les éléments qui permettent de repérer les erreurs. Pour a) : une fonction affirmée croissante sans intervalle, dont l'ensemble de définition est troué en $-1$, appelle le test de deux valeurs de part et d'autre du trou, $f(-2)=3>1=f(0)$. Pour b) : chercher un contre-exemple à l'énoncé général utilisé, « une suite convergente est majorée par sa limite » ; la suite décroissante $\frac{1}{n+1}$ en fournit un.

Le verdict, rédigé. Les conclusions sont exactes, la démonstration ne l'est pas : en a), l'affirmation « $f$ est croissante » est fausse sur l'ensemble de définition de $f$ et le lien entre $f$ et $(u_n)$ n'est pas établi ; en b), la majoration par la limite n'est pas justifiée, et elle ne découle de la convergence qu'avec la croissance.

Les pièges pour qui critique.

• Déclarer la réponse fausse parce que la démonstration l'est : les deux conclusions sont vraies, il faut le dire.
• Déclarer la réponse juste parce que les conclusions le sont : a) contient une affirmation fausse, b) une affirmation non justifiée.
• Reprocher le calcul de $f'$ : le résultat $f'(x)=\frac{1}{(x+1)^2}$ est exact ; ce qui pèche, c'est la manière de l'écrire (consigne 2).

Recoupement. Les premiers termes $u_0=1$, $u_1=\frac32$, $u_2=\frac53$, $u_3=\frac74$, $u_4=\frac95$ croissent et restent sous $2$ ; $f(-2)=3$ et $f(0)=1$ ; la suite $\frac{1}{n+1}$ tend vers $0$ avec un premier terme égal à $1$. Valeurs certifiées par la machine.

Ce que ça teste. La précision des objets et des quantificateurs dans une étude de fonction (Fonctions d'une variable réelle), et la citation d'un résultat avec ses conditions.

Les critiques, dans l'ordre de la réponse.

• « Soit $f(x)=\dfrac{2x+1}{x+1}$ » : on ne définit pas une fonction en posant une valeur. Il fallait écrire « soit $f$ la fonction définie sur $]-1,+\infty[$ par $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$ » — et l'ensemble de départ est justement ce qui manque en a).
• « $\left(\frac{u}{v}\right)'=\frac{u'v-uv'}{v^2}$ » : $u$ et $v$ ne sont pas définis ($u(x)=2x+1$, $v(x)=x+1$), et la formule est citée sans ses hypothèses ($u$ et $v$ dérivables, $v$ ne s'annulant pas sur l'intervalle considéré).
• « $f'(x)=\frac{2-1}{(x+1)^2}$ » : le calcul du numérateur est sauté. Avec la formule annoncée, il fallait écrire $u'(x)v(x)-u(x)v'(x)=2(x+1)-(2x+1)=1$. Le « $2-1$ » peut venir de ce calcul, puisque $2(x+1)-(2x+1)=2x+2-2x-1$ se réduit à $2-1$ quand les termes en $x$ s'annulent : c'est alors l'étape intermédiaire qui manque. Il peut aussi venir du $ad-bc$ de la formule de dérivation d'une fonction homographique $x\mapsto\frac{ax+b}{cx+d}$, qui n'est pas citée.
• « Or $\frac{1}{(x+1)^2}>0$ » : pour quels $x$ ? Le quantificateur manque (pour tout $x\neq-1$, ou pour tout $x$ de l'intervalle choisi).
• « Donc $f(x)$ est croissante » : $f(x)$ est un nombre réel ; c'est la fonction $f$ qui est croissante, et sur un intervalle qu'il faut nommer.
• « par conséquent $(u_n)$ est croissante » : le lien $u_n=f(n)$ n'est pas écrit, ni le fait que les entiers naturels sont dans l'intervalle où $f$ est croissante.
• « $\lim u_n=\lim\frac{2n+1}{n+1}=2$ » : ni « $n\to+\infty$ » sous le symbole, ni calcul, alors que la forme est indéterminée.
• « la suite est majorée par sa limite » : aucune justification, et aucun majorant écrit sous la forme attendue, « pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\leqslant2$ ».
• Une méthode lourde. Passer par une fonction auxiliaire et sa dérivée n'est pas faux, mais multiplie les hypothèses à vérifier (dérivabilité, intervalle, lien $u_n=f(n)$) ; une suite donnée par une formule aussi simple s'étudie directement, par $u_{n+1}-u_n$ ou par l'écriture $u_n=2-\frac{1}{n+1}$.

Ce qui est bien. La structure en deux parties annoncées (a) croissance, b) majoration) est claire, et le calcul de $f'$ aboutit au bon résultat.

Les pièges pour qui critique. Ne pas confondre une notation négligée ($f(x)$ pour $f$) avec une erreur de fond : ici les deux coexistent, puisque l'absence d'intervalle rend fausse l'affirmation « $f$ est croissante ». Et ne pas reprocher à la réponse la maladresse de l'énoncé lui-même, qui commence par « Soit $n\in\mathbb{N}$ » avant d'employer $n$ comme indice de la suite : une réponse rédigée n'a pas à la reprendre.

Recoupement. Les deux chemins donnent le même numérateur : $ad-bc=2\times1-1\times1=1$ et $2(x+1)-(2x+1)=1$ ; la dérivée $\frac{1}{(x+1)^2}$ est certifiée par la machine.

Ce que ça teste. Étudier directement le sens de variation d'une suite et la majorer, sans outil superflu (Réels et suites).

La rédaction attendue.

Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $n+1\geqslant1$, donc $u_n$ est bien défini, et comme $2n+1=2(n+1)-1$ :

Croissance. Soit $n\in\mathbb{N}$. Alors

Donc $u_{n+1}>u_n$ pour tout $n\in\mathbb{N}$ : la suite $(u_n)$ est strictement croissante, donc croissante.

Majoration. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\frac{1}{n+1}>0$, donc $u_n=2-\frac{1}{n+1}<2$ : la suite $(u_n)$ est majorée par $2$.

Conclusion : la suite $(u_n)$ est croissante et majorée (par $2$). De plus $\frac{1}{n+1}\to0$, donc $u_n\to2$ : le majorant $2$ est le plus petit possible, puisque tout réel $M<2$ est dépassé par les termes $u_n$ pour $n$ assez grand.

Variante : avec la fonction, correctement. Soit $f$ la fonction définie sur l'intervalle $I=\,]-1,+\infty[$ par $f(x)=\frac{2x+1}{x+1}$. Elle est dérivable sur $I$, comme quotient de fonctions dérivables dont le dénominateur ne s'annule pas sur $I$, et pour tout $x\in I$,

Comme $f'>0$ sur l'intervalle $I$, $f$ est strictement croissante sur $I$ (Fonctions d'une variable réelle, section E). Pour tout $n\in\mathbb{N}$, les entiers $n$ et $n+1$ appartiennent à $I$ et $u_n=f(n)$ ; comme $n<n+1$, $u_n=f(n)<f(n+1)=u_{n+1}$.

Variante : « majorée par sa limite », démontré. Le résultat vrai est le suivant : si une suite $(u_n)$ est croissante et converge vers $\ell$, alors $u_n\leqslant\ell$ pour tout $n$. En effet, soit $n\in\mathbb{N}$ fixé ; pour tout $p\geqslant n$, $u_p\geqslant u_n$ par croissance ; en passant à la limite quand $p\to+\infty$ dans cette inégalité large, on obtient $\ell\geqslant u_n$. Ici $(u_n)$ est croissante et converge vers $2$, donc $u_n\leqslant2$ pour tout $n$. Rédigé ainsi — croissance citée, limite calculée, résultat énoncé —, le b) de la réponse fournie devient juste.

Les pièges.

• Le signe de la dérivée ne donne le sens de variation que sur un intervalle : sur $\mathbb{R}\setminus\{-1\}$, $f$ n'est pas croissante.
• « Majorée » n'est pas « majorée par sa limite » : toute suite convergente est bornée, donc majorée, mais pas forcément par sa limite (la suite $\frac{1}{n+1}$).
• Oublier le terme $u_0$. L'écriture $u_n=\dfrac{2+\frac1n}{1+\frac1n}$, commode pour la limite, n'a de sens que pour $n\geqslant1$ ; l'écriture $u_n=2-\frac{1}{n+1}$ vaut pour tout $n\in\mathbb{N}$.

Recoupement. Les écarts $u_1-u_0=\frac12$, $u_2-u_1=\frac16$, $u_3-u_2=\frac1{12}$, $u_4-u_3=\frac1{20}$ sont bien les valeurs de $\frac{1}{(n+1)(n+2)}$ pour $n=0,1,2,3$ ; et $2-u_n=\frac{1}{n+1}$ donne par exemple $u_{99}=\frac{199}{100}$. Formules et valeurs certifiées par la machine.

Ce que ça teste. D'abord la lecture de l'énoncé ; puis la somme des termes d'une suite géométrique, la récurrence et la limite de $q^n$ (Réels et suites, Raisonnement) ; enfin, la différence entre illustrer et démontrer.

L'énoncé contient une coquille, et c'est le premier élément à relever. Le terme sommé, $\frac{1}{2^n}$, ne dépend pas de l'indice de sommation $k$. Lu à la lettre, la somme compte donc $n$ fois le même nombre :

Ainsi $Q_1=\frac12$, $Q_2=\frac12$, $Q_3=\frac38$, $Q_4=\frac14$, et $Q_n\to0$ (preuve dans l'entrée « réponse rédigée »). Telle qu'elle est écrite, l'assertion à démontrer est fausse : la limite vaut $0$, pas $1$.

L'intention est claire : le sujet voulait la somme $\frac12+\frac14+\dots+\frac{1}{2^n}$, que l'on note

et dont la limite est bien $1$. Le dessin de la réponse le confirme : ses zones ont des aires qui se divisent par deux d'une zone à la suivante, comme les termes de $S_n$, alors que les termes de la somme écrite sont tous égaux. Dans toute la suite de la correction, $S_n$ désigne cette somme rectifiée, et $Q_n$ la somme écrite.

La réponse est-elle exacte ? On juge séparément la conclusion et la démonstration, comme à l'exercice 2 — et dans chacune des deux lectures.

• Pour l'énoncé tel qu'il est écrit, la conclusion $\lim Q_n=1$ est fausse : la réponse est inexacte.
• Pour l'énoncé rectifié, la conclusion $\lim S_n=1$ est vraie, mais la réponse ne la démontre pas : c'est le verdict de l'exercice 2, conclusion exacte et démonstration non valide (ici, absente).

Ce que le dessin montre, et ce qu'il ne montre pas. Si l'on prend l'aire du grand carré pour unité (ce que la réponse ne dit pas), les zones hachurée, rayée, quadrillée et pointillée ont pour aires $\frac12$, $\frac14$, $\frac18$ et $\frac{1}{16}$, et la zone blanche $\frac{1}{16}$. Le dessin illustre donc quatre égalités, jusqu'à $S_4=1-\frac{1}{16}=\frac{15}{16}$ : chaque zone s'ajoute aux précédentes. Il ne montre pas le reste.

• Il ne montre pas que $S_n=1-\frac{1}{2^n}$ pour tout $n$. Quatre étapes dessinées ne disent rien de la cinquième, ni de la millième : il faut une récurrence, ou la formule de la somme des termes d'une suite géométrique.
• Il ne dit rien du passage à la limite. Que la zone blanche, d'aire $\frac{1}{2^n}$, devienne « aussi petite qu'on veut » est exactement l'énoncé $\frac{1}{2^n}\to0$, qu'il faut établir. Voir des restes diminuer ne suffit pas : les nombres $\frac12+\frac{1}{2^{n+1}}$ diminuent eux aussi, et tendent vers $\frac12$, pas vers $0$.

Les éléments qui permettent de repérer les erreurs. Le terme sommé qui ne dépend pas de $k$ ; le calcul de $Q_2$ avec la formule écrite, qui donne $\frac12$ et non $\frac34$ ; l'absence de tout argument valable pour un entier $n$ quelconque ; le mot « déduit », alors qu'aucune déduction n'est écrite.

Les pièges pour qui critique.

• Traiter en silence la somme rectifiée. C'est faire le bon calcul sur un énoncé qu'on n'a pas lu : la consigne demande de repérer les erreurs, et celle de l'énoncé en fait partie.
• Rejeter le dessin sans dire pourquoi. Ce qui manque est précis : l'argument pour tout $n$, et le passage à la limite.

Recoupement. Avec la formule écrite, $Q_4=\frac14$ ; avec la formule voulue, $S_4=\frac{15}{16}$, qui est exactement l'aire coloriée du dessin. Pour $n=10$ : $Q_{10}=\frac{10}{1024}$ et $S_{10}=\frac{1023}{1024}$. Valeurs certifiées par la machine.

Ce que ça teste. Ce qu'une démonstration doit écrire, et le statut d'une figure dans une preuve (Raisonnement).

Les critiques.

• Aucun texte n'accompagne le dessin. Ni l'unité d'aire (le grand carré, d'aire $1$), ni la correspondance entre les zones et les termes de la somme, ni l'ordre dans lequel on les ajoute. Le lecteur doit deviner que la moitié hachurée représente $\frac12$, le quart rayé $\frac14$, et ainsi de suite.
• Le dessin s'arrête après quatre zones, plus un reste blanc, sans un mot sur ce qui se passe ensuite. La règle de construction — « à chaque étape, on colorie la moitié de la zone restée blanche » — n'est pas écrite ; c'est pourtant elle qui porte l'argument.
• « On en déduit que » : rien n'est déduit. Aucun calcul, aucun résultat cité (somme des termes d'une suite géométrique, limite de $q^n$), aucune récurrence.
• La coquille de l'énoncé n'est pas relevée. La réponse traite, sans le dire, une autre somme que celle qui est écrite.
• Une notation qui change. L'énoncé écrit $n\to\infty$, la réponse $n\to+\infty$. Pour une suite indexée par $\mathbb{N}$, les deux désignent la même chose ; l'écart est mineur, mais une réponse s'en tient à une seule notation.

Ce qui est bien. L'idée du dessin est la bonne : à chaque étape, on ajoute la moitié de ce qui manque pour atteindre $1$, donc ce qui manque est divisé par deux. Transformée en récurrence, elle devient une démonstration — c'est la variante « le dessin, rédigé » de l'entrée suivante. Une figure est un excellent support d'intuition, en classe comme au brouillon ; elle ne dispense pas de la preuve.

Les pièges pour qui critique. Ne pas confondre les deux consignes : que le dessin ne démontre rien relève de la consigne 1 (la réponse n'est pas exacte) ; que rien ne le légende ni ne l'explique relève de la consigne 2 (la rédaction).

Recoupement. Les cinq zones du dessin recouvrent exactement le carré : $\frac12+\frac14+\frac18+\frac{1}{16}+\frac{1}{16}=1$. Chaque zone colorée est la moitié de la précédente. Valeurs certifiées par la machine.

Ce que ça teste. Somme des termes d'une suite géométrique, récurrence (Raisonnement), limite de $q^n$ pour $0<q<1$ (Réels et suites, limites de référence) — et le traitement honnête d'un énoncé fautif.

La rédaction attendue.

1. L'énoncé tel qu'il est écrit. Le terme $\frac{1}{2^n}$ ne dépend pas de $k$, donc, pour tout $n\geqslant1$, $Q_n=\frac{n}{2^n}$. Pour $n\geqslant2$, la formule du binôme donne $2^n=\sum_{j=0}^{n}\binom{n}{j}\geqslant\binom{n}{2}=\frac{n(n-1)}{2}$, tous les termes de la somme étant positifs. D'où, pour $n\geqslant2$,

Comme $\frac{2}{n-1}\to0$, le théorème des gendarmes donne $Q_n\to0$. L'assertion demandée est fausse pour la suite écrite : $\lim Q_n=0\neq1$.

2. L'énoncé rectifié. Le dessin de la réponse et la valeur annoncée indiquent que le sujet voulait la somme $S_n=\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{2^k}$. Démontrons que $\lim S_n=1$.

Calcul de $S_n$. Pour tout réel $q\neq1$ et tout entier $n\geqslant1$, les termes intermédiaires se compensent dans

donc $\sum_{k=1}^{n}q^k=\frac{q-q^{n+1}}{1-q}$. Avec $q=\frac12$ :

Limite. Comme $0<\frac12<1$, $\left(\frac12\right)^n\to0$ ; donc $S_n\to1$.

Conclusion : pour la somme rectifiée, $\lim_{n\to+\infty}S_n=1$ ; pour la somme écrite, la limite vaut $0$.

Variante : par récurrence. Pour tout entier $n\geqslant1$, on note $\mathcal{P}_n$ la proposition « $S_n=1-\frac{1}{2^n}$ ».

Initialisation. $S_1=\frac12=1-\frac12$ : $\mathcal{P}_1$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\geqslant1$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie. Alors

donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie. Par récurrence, $S_n=1-\frac{1}{2^n}$ pour tout $n\geqslant1$.

Variante : le dessin, rédigé. On part d'un carré d'aire $1$. À la première étape, on colorie la moitié du carré ; à chaque étape suivante, on colorie la moitié de la zone restée blanche. On note $r_n$ l'aire blanche après $n$ étapes, avec $r_0=1$. Colorier la moitié du reste donne $r_{n+1}=\frac{r_n}{2}$ : la suite $(r_n)$ est géométrique de raison $\frac12$, donc $r_n=\frac{1}{2^n}$. L'aire coloriée à l'étape $k$ vaut $r_{k-1}-r_k=\frac{1}{2^k}$, et l'aire coloriée après $n$ étapes vaut $S_n=1-r_n=1-\frac{1}{2^n}$. C'est la démonstration que le dessin suggère : un invariant, « le reste vaut $\frac{1}{2^n}$ », établi pour tout $n$, puis le passage à la limite $\frac{1}{2^n}\to0$.

Les pièges.

• Traiter la somme rectifiée sans signaler la coquille, ou signaler la coquille sans dire ce que vaut l'énoncé écrit.
• Se tromper de premier indice. La somme $\sum_{k=0}^{n}\frac{1}{2^k}$ commence à $k=0$ et vaut $2-\frac{1}{2^n}$, de limite $2$ ; ici la somme commence à $k=1$.
• Affirmer $\frac{1}{2^n}\to0$ sans justification. C'est une limite de référence ($q^n\to0$ pour $\lvert q\rvert<1$), qu'on cite ; on peut aussi l'établir par $2^n\geqslant n+1$, d'où $0<\frac{1}{2^n}\leqslant\frac{1}{n+1}$.

Recoupement. Les premières valeurs $S_1=\frac12$, $S_2=\frac34$, $S_3=\frac78$, $S_4=\frac{15}{16}$ sont celles du dessin ; $S_{10}=\frac{1023}{1024}$ ; l'écart $1-S_n=\frac{1}{2^n}$ passe sous $10^{-6}$ à partir de $n=20$ (car $2^{19}=524\,288$ et $2^{20}=1\,048\,576$). La formule, la récurrence et les valeurs sont certifiées par la machine.