CAPES externe bac+3 — Sujet zéro, épreuve écrite 2 (mai 2025)

CAPES externe bac+3 — Sujet zéro, épreuve écrite 2 : le sujet en un coup d'œil

Idée. Ce chapitre te fait composer sur le second des deux exemples de sujets que le ministère a publiés en mai 2025, avant la première session du concours bac+3 : celui de la seconde épreuve d'admissibilité. C'est une épreuve sur documents : au lieu d'exercices qui se suffisent à eux-mêmes, on y juge trois réponses rédigées par quelqu'un d'autre, on lit, démontre et complète un extrait de cours sur la convexité, et l'on exploite un extrait de manuel sur les courbes de Lorenz. Ce n'est pas un sujet tombé — aucune session ne s'est déroulée sur lui —, c'est l'exemple que le ministère a donné pour montrer à quoi ressemble cette épreuve. Il est reproduit ici, et chacune de ses questions reçoit une correction qui enseigne : ce que la question teste, la rédaction attendue, les pièges, et un recoupement qui prouve le résultat autrement. Cette leçon-ci est la carte du sujet : ce qu'il contient, ce que chaque partie demande de savoir faire, les chapitres de l'app à réviser avant de l'ouvrir, et comment y répartir ton temps.

Note (sources). Le sujet est reproduit depuis devenirenseignant.gouv.fr — © ministère chargé de l'Éducation nationale ; ses pages portent « MAI 2025 » et « mis à jour août 2025 ». Les questions et le Document 1 sont ceux du document officiel, sans retouche du texte ; les figures du Document 1, qui sont des images, sont redessinées par Maths Post-Bac. ⚠️ Le Document 2 n'est pas reproduit dans l'app : c'est un extrait d'un manuel de mathématiques complémentaires (collection Barbazo, éditions Hachette, 2020). L'exercice de la Partie 3 en décrit le contenu avec nos propres mots et l'accompagne d'une figure de Maths Post-Bac ; le document lui-même se lit en page 13 du sujet officiel. ⚠️ Il n'existe ni corrigé officiel, ni rapport du jury pour ce sujet zéro, puisque personne n'a composé dessus. Les corrections sont celles de Maths Post-Bac : elles sont écrites à partir du seul énoncé et certifiées par la machine — chaque valeur affichée est recalculée, chaque contre-exemple est éprouvé. Les attendus cités dans la leçon d'approfondissement viennent du rapport du jury de la session 2025, qui porte sur l'ancien concours, à bac+5.

A. L'épreuve, et ce que ce document est exactement

• Un exemple officiel, pas un sujet d'examen. La couverture porte « Concours externe BAC + 3 du CAPES », « Cafep-Capes », « Section Mathématiques », puis annonce deux contenus : « 1) Exemple de sujet pour la seconde épreuve d'admissibilité 2) Extrait de l'arrêté du 17 avril 2025 ». La première page du sujet est titrée « Sujet 0 / Seconde épreuve d'admissibilité ». Conséquence pratique : ce document ne porte aucune consigne matérielle — rien sur la calculatrice, rien sur l'anonymat de la copie. Ces consignes-là se lisent sur le sujet du jour, et le sujet 2026 de la même épreuve en donne un exemple : ne conclus pas de leur absence ici qu'elles n'existent pas.
• La règle de l'épreuve, telle que le sujet zéro la reproduit. Sa dernière page, intitulée « Réglementation de la seconde épreuve d'admissibilité », est un extrait de l'annexe de l'arrêté : « L'épreuve s'appuie sur plusieurs documents. Le candidat est invité à analyser, critiquer, le cas échéant, compléter le contenu des documents en vue de répondre à la ou aux questions posées et de résoudre des exercices. L'épreuve évalue les compétences disciplinaires. » Puis, chacun sur sa ligne : « Durée : quatre heures. », « Coefficient 2. » et « L'épreuve est notée sur 20. Une note globale égale ou inférieure à 5 est éliminatoire. » Les trois verbes — analyser, critiquer, compléter — sont le programme de l'épreuve, et ce sujet les fait travailler tous les trois.
• Quatre heures, et ici l'imprimé et l'arrêté concordent. La première page annonce « La durée de l'épreuve est de 4 heures. », comme l'arrêté. Ce n'est pas une évidence : la page de garde du sujet 2026 de l'épreuve 1 portait une durée différente de celle de l'arrêté. Le coefficient $2$ de cette épreuve est à comparer au coefficient $3$ de la première.
• Trois parties, deux documents — et le mot « indépendantes » n'y figure pas. La première page dit : « Ce sujet est formé de trois parties et comporte deux documents joints. » Le sujet 2026 de la même épreuve, lui, annonce des parties indépendantes. Ici, la Partie 3 demande de démontrer qu'une courbe représente une fonction convexe : c'est la convexité définie dans le Document 1, celle que la Partie 2 fait étudier. Sur quatorze pages numérotées, les questions en occupent cinq (pages 1 à 5), le Document 1 sept (pages 6 à 12), le Document 2 une (page 13), et l'extrait de l'arrêté la dernière. Les documents pèsent plus lourd que les questions : ils sont à lire avant d'être à traiter.
• Une consigne qui change tout dans la Partie 2. Son préambule précise : « Les résultats du document 1 sont utilisables sans démonstration. » On peut donc citer un énoncé du document par son nom et son numéro — sauf, évidemment, dans la question qui demande de le démontrer.

B. Le sujet zéro : trois parties, quatre blocs de travail

Plus $\frac{1}{20}$ du temps pour la relecture. Ces parts totalisent exactement le temps disponible : $\frac15+\frac13+\frac16+\frac14+\frac1{20}=1$. Sur les $240$ minutes de l'épreuve, arrondies à $5$ minutes, elles donnent $50$, $80$, $40$ et $60$ minutes, plus $10$ de relecture. ⚠️ Aucun barème n'est publié : ces parts sont une estimation de Maths Post-Bac — d'après le nombre et la nature des questions et la longueur des textes à lire —, pas un barème, et ce sont des repères, pas un minutage à tenir à la montre.

• Partie 1 — juger, critiquer, puis rédiger. Trois exercices courts, chacun suivi d'une « Réponse » rédigée : résoudre un système de trois équations linéaires à trois inconnues ; démontrer que la suite de terme général $u_n=\frac{2n+1}{n+1}$ est croissante et majorée ; démontrer que la suite $(Q_n)$, définie par une somme, tend vers $1$ — la réponse fournie à ce dernier tient en un dessin. Trois consignes valent pour les trois exercices : « Les réponses fournies sont-elles exactes ? Justifier et préciser les éléments qui permettent de repérer les erreurs. », « Quelles critiques peut-on faire à la rédaction de chaque réponse proposée ? Justifier. » et « Rédiger avec soin une réponse correcte pour chacun des exercices proposés. » L'exactitude et la rédaction sont donc deux questions séparées, et ta propre rédaction en est une troisième. Ce qu'il faut savoir faire : lire une preuve ligne à ligne, dire pour chaque étape ce qui l'autorise, distinguer une conclusion juste d'un raisonnement valide — puis écrire soi-même une preuve complète. Tranche d'abord par toi-même, avant d'ouvrir la moindre correction.
• Partie 2 — lire, démontrer et compléter un extrait de cours. Le Document 1 s'intitule « Introduction aux fonctions convexes et parties convexes du plan ». Rédigé comme un chapitre de cours, il aligne cinq définitions, six propositions, trois théorèmes et quatre remarques, avec des exemples ; deux démonstrations seulement y figurent, et l'une est annoncée comme « incomplète ». Les vingt et une questions le suivent en deux sections. La première, questions 1 à 14, porte sur les fonctions convexes sur un intervalle : elle demande de formaliser une phrase à l'aide d'une inégalité et de quantificateurs, de démontrer des énoncés du document — la Remarque 1, la fin de la démonstration de la Proposition 2, la deuxième inégalité de la Proposition 3 —, d'énoncer un analogue pour les fonctions concaves, de trancher une question fermée, et d'appliquer la convexité à des fonctions précises — $x\mapsto x^2$, la valeur absolue, $x\mapsto x^3$, le sinus —, avec deux figures demandées. La seconde, questions 15 à 21, porte sur les parties convexes du plan : un point, une couronne à dessiner, une réunion, la démonstration de la Proposition 5, puis des enveloppes convexes. Dans l'app, la Partie 2 est coupée en deux exercices, à la frontière des deux sections : chacun porte ses questions et la section du Document 1 qu'elles concernent.
• Partie 3 — exploiter un extrait de manuel. Sept questions, de A à G, sur le Document 2, que le sujet présente comme le document « sur les courbes de Lorenz ». Proposée en 1905 par l'économiste Max O. Lorenz, cette courbe montre comment un revenu total se partage : on range la population des revenus les plus faibles aux plus élevés, et l'on lit quelle part du revenu total revient à chaque part de la population. Les questions vont de la lecture à la théorie : comparer les courbes de deux pays et estimer des parts de revenu « dans les limites de précision imposée par les graphiques » ; décrire la courbe dans deux cas extrêmes, que le sujet nomme égalité parfaite et inégalité totale ; puis démontrer trois propriétés générales — qu'une courbe de Lorenz représente une fonction croissante et convexe, qu'il existe deux points par lesquels passent toutes les courbes de Lorenz, et qu'une courbe de Lorenz est toujours sous la droite d'équation $y=x$. Les questions E à G demandent de démontrer des propriétés que le document se contente de montrer sur des exemples.

C. Stratégie de composition

• Lire le Document 1 en entier avant la question 1. Les questions suivent le texte, et plusieurs d'entre elles demandent de démontrer un énoncé avec ce qui le précède. Savoir d'avance où se trouve chaque définition, chaque proposition, chaque théorème fait gagner plus de temps que la lecture n'en coûte — et le document resservira dans la Partie 3.
• Choisir son ordre, mais en connaissance de cause. Rien n'oblige à suivre l'ordre du sujet, mais il n'annonce pas ses parties comme indépendantes : la Partie 3 s'appuie sur la convexité du Document 1. Un ordre raisonnable est la Partie 1, courte et autonome, puis la Partie 2, puis la Partie 3. Numérote très lisiblement ce que tu traites — « Partie 1, exercice 2, critique de la rédaction », « Question 13 », « Question E » : c'est ce qui permet de retrouver chaque réponse.
• Dans la Partie 1, trois consignes, trois temps. Pour chaque exercice : d'abord le verdict sur l'exactitude, avec ce qui permet de repérer l'erreur — une vérification, un contre-exemple, un calcul ; ensuite la critique de la rédaction, y compris des passages justes ; enfin ta propre réponse. Mêler les trois fait disparaître la critique dans la correction, alors que c'est elle que les deux premières consignes demandent.
• Distinguer énoncer, démontrer, justifier, dessiner. La question 10 demande d'« Énoncer un analogue » et précise « On ne demande pas de le démontrer » : on attend un énoncé exact, pas une preuve. La question 16 demande de dessiner et de démontrer : deux réponses. Une figure demandée — à la question 1, à la question 13, à la question 16 — fait partie de la réponse : lisible, légendée, cohérente avec les calculs.
• Une démonstration qui résiste ne bloque pas la suite. L'énoncé que l'on te demande de démontrer est écrit dans le document : les questions suivantes peuvent s'appuyer dessus en le citant. Si une question résiste, écris-le, et continue. Ce qui n'est pas légitime, c'est de faire semblant d'avoir démontré.
• La part réservée à la relecture ne sert pas à chercher. Elle sert à vérifier que chaque théorème invoqué l'a été avec ses hypothèses, que chaque résultat du document utilisé est cité, qu'aucune démonstration n'utilise ce qu'elle démontre, que chaque réponse négative a son contre-exemple, et que chaque question se termine par une phrase qui répond à la question posée.

D. Ce que ce format attend d'une copie

• Analyser, c'est lire un document comme un énoncé : repérer ses hypothèses, ses définitions et l'ordre dans lequel il les pose, et savoir ce qu'un énoncé affirme exactement — quantificateurs compris.
• Critiquer, c'est dire ce qui est faux ou incomplet et pourquoi : localiser la phrase fautive, nommer la faute — une implication prise pour une équivalence, un théorème invoqué hors de ses hypothèses, un quantificateur absent, une fonction confondue avec sa valeur, une figure prise pour une preuve —, et dire ce qu'elle coûte. Critiquer n'est pas réécrire en silence.
• Compléter, c'est écrire ce qui manque : une démonstration, un cas oublié, une hypothèse, un quantificateur. Le sujet le demande nommément : « La démonstration de la proposition 2 est incomplète : terminer cette démonstration en traitant le cas $f(a)>f(b)$. »
• Répondre à la question posée, sous la forme demandée. Aucun rapport de jury ne porte sur ce sujet zéro. Celui de la session 2025, qui porte sur l'ancien concours, écrit à propos de sa seconde épreuve : « Le jury constate notamment que les consignes ne sont pas toujours lues avec l'attention nécessaire ». Sur ce sujet, chaque consigne impose une forme — une inégalité écrite avec ses quantificateurs, un énoncé sans preuve, une figure, une estimation « dans les limites de précision imposée par les graphiques ».

E. Pour t'entraîner

• Les quatre exercices du chapitre sont dans l'onglet Pratiquer : la Partie 1, la Partie 2 en deux blocs — questions 1 à 14 avec la section 1 du Document 1, questions 15 à 21 avec sa section 2 —, et la Partie 3, dont l'énoncé décrit le Document 2 et l'accompagne d'une figure de Maths Post-Bac. Chaque exercice porte des indices, un par question : ils donnent le premier geste, pas la rédaction.
• Les corrections sont découpées question par question : on peut en lire une sans se faire abîmer les suivantes. Chacune dit ce que la question teste et renvoie au chapitre de l'app où la notion est enseignée, rédige la réponse au niveau d'exigence attendu, signale les pièges, et termine par un recoupement indépendant.
• Le fascicule PDF du chapitre contient les énoncés et leurs corrections : c'est lui qu'il faut imprimer pour composer sur papier, montre en main. Pour la Partie 3, garde à côté la page 13 du sujet officiel, qui porte le Document 2. Compose d'abord, corrige ensuite.
• La leçon d'approfondissement reprend les trois parties une par une : les fautes à savoir nommer, les énoncés à savoir dire exactement, les défauts du Document 1 à repérer, et le résultat général que chaque bloc construit. À lire après une première composition, pas avant.
• Et les autres annales du chapitre : l'épreuve écrite 2 de 2026, même format, l'épreuve écrite 1 de 2026 et le sujet zéro de l'épreuve 1. Les deux sujets de l'épreuve 2 se préparent ensemble : ils ont la même architecture — critique de réponses, extrait de cours, extrait de manuel —, sur des thèmes différents.