CAPES externe 2026 (bac+3) — Épreuve écrite 1

CAPES externe 2026 (bac+3) — Épreuve écrite 1 : le sujet en un coup d'œil

Idée. Ce chapitre n'enseigne pas une notion neuve : il te fait composer sur le sujet du nouveau concours. Depuis la session 2026, le CAPES externe de mathématiques se passe à bac+3, sur le tronc commun des licences — et la première épreuve écrite de cette session est le premier vrai sujet de ce format. Il est reproduit ici tel quel, ses quatre exercices sont indépendants, et chacune de leurs questions reçoit une correction qui enseigne : ce que la question teste, la rédaction que le jury attend, le piège où tombent les copies, et un recoupement qui prouve le résultat autrement. Cette leçon-ci est la carte du sujet : ce qu'il contient, ce qu'il faut avoir révisé avant de l'ouvrir, et comment y répartir ton temps de composition.

Note (sources). Le sujet est reproduit depuis devenirenseignant.gouv.fr — © ministère chargé de l'Éducation nationale ; les énoncés sont ceux du concours, sans retouche. Les corrections sont celles de Maths Post-Bac : elles sont écrites à partir du seul énoncé et certifiées par la machine (chaque valeur affichée est recalculée, chaque contre-exemple est éprouvé). Les attendus de rédaction cités ici viennent du rapport du jury 2025, seul rapport publié à ce jour ; le rapport 2026 sera intégré à cette leçon dès sa parution, avec ses taux de réussite question par question.

A. L'épreuve

• Un concours à bac+3. Depuis la session 2026, le CAPES externe et le CAFEP recrutent au niveau de la licence. Le programme des épreuves écrites est, mot pour mot, « le tronc commun des programmes des différentes licences de mathématiques » : 18 rubriques, du raisonnement ensembliste aux probabilités, en passant par l'algèbre linéaire, l'arithmétique, les séries de fonctions, les espaces euclidiens, la statistique et l'algorithmique. C'est le socle : aucune connaissance exigible du candidat ne se trouve en dehors. Le programme laisse toutefois une porte ouverte, en toutes lettres : « Les concepteurs de sujets pourront être amenés à rappeler certains théorèmes ou résultats dans les énoncés. » Et le sujet 2026 s'en sert deux fois : l'exercice 3 installe lui-même « un ensemble $E$ muni d'une structure d'anneau », y compris non commutatif, alors que le programme ne nomme que les anneaux $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ ; et l'exercice 2 redonne sa propre définition de deux suites équivalentes. Ce qu'on attend de toi n'est donc pas de tout savoir par cœur, mais de savoir utiliser une définition telle qu'elle est donnée.
• La première épreuve écrite. Elle est affectée du coefficient 3 : c'est l'épreuve la plus lourde de l'admissibilité. ⚠️ Deux durées circulent, et il faut connaître les deux. L'arrêté du 17 avril 2025 fixe la durée de cette épreuve à quatre heures, coefficient 3. Le sujet 2026 imprimé, commun aux sections Mathématiques, Langues régionales et Langues kanak, porte en page de garde « Durée : 5 heures ». Le jour J, compose sur la durée imprimée sur ton sujet. Le sujet annonce lui-même sa forme : « Le sujet est constitué de plusieurs exercices ou problèmes. L'épreuve permet d'apprécier la maîtrise des connaissances disciplinaires et l'aptitude à les mobiliser. Elle sollicite également les capacités de raisonnement, de démonstration et d'expression écrite du candidat, dans un langage adapté. » Les trois derniers mots ne sont pas décoratifs : la langue est notée.
• Les règles imprimées sur la première page, à connaître avant le jour J. La calculatrice est autorisée « dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021, BOEN du 29 juillet 2021 » ; tout ouvrage de référence, tout dictionnaire et tout autre matériel électronique sont interdits. La copie est anonyme : aucun nom, aucune signature, aucun signe distinctif. Une copie blanche est éliminatoire : c'est écrit sur le sujet. Par ailleurs, une note globale égale ou inférieure à $5$ sur $20$ est éliminatoire (arrêté du 17 avril 2025) — le seuil porte sur l'ensemble de l'admissibilité, pas sur une épreuve prise isolément, et il faut les distinguer : une épreuve faible se rattrape à l'autre, une copie blanche non. Enfin, si tu crois repérer une erreur d'énoncé, la consigne officielle est de la signaler très lisiblement sur la copie, d'en proposer la correction, et de poursuivre en conséquence — de même pour toute hypothèse que l'on est conduit à formuler : elle se mentionne explicitement.
• La consigne du Vrai/Faux, qui vaut avertissement pour tout le sujet. L'exercice 1 s'ouvre ainsi : « Les assertions suivantes sont-elles vraies ou fausses ? Justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. » Le rapport du jury 2025 le redit sans nuance à propos d'un Vrai/Faux analogue : il s'agit de répondre et d'argumenter chaque réponse ; « dans le cas contraire, aucun point n'est attribué à la question ». Cocher vrai ou faux au jugé rapporte donc exactement zéro, même quand le verdict est juste.

B. Le sujet 2026 : quatre exercices indépendants

Plus $\frac{1}{20}$ du temps pour la relecture, et la section C explique pourquoi cette part ne se négocie pas. Ces cinq parts totalisent exactement le temps disponible : $\frac16+\frac13+\frac14+\frac15+\frac1{20}=1$. Arrondies à $5$ minutes, elles donnent, sur une épreuve de $240$ minutes : $40$, $80$, $60$, $50$, plus $10$ de relecture ; sur une épreuve de $300$ minutes : $50$, $100$, $75$, $60$, plus $15$. Ce sont des repères, pas un minutage à tenir à la montre.

• Exercice 1 — Vrai/Faux. Sept assertions indépendantes, qui balaient cinq rubriques du programme, de l'analyse aux espaces euclidiens : une réciproque d'un théorème d'analyse, une intégrale à calculer sur $[0,n\pi]$, un triangle dont deux sommets dépendent d'un paramètre réel, l'existence d'une racine réelle pour un polynôme de degré impair, une forme bilinéaire sur $\mathbb{R}_1[X]$ dont il faut décider si c'est un produit scalaire, une somme de puissances de racines $n$-ièmes de l'unité, et une équation différentielle linéaire du premier ordre dont le coefficient de $y'$ s'annule. Aucune n'est longue ; chacune demande une justification complète. C'est l'exercice où l'on marque le plus vite — et celui où une réponse non argumentée n'est pas prise en compte, l'énoncé le dit.
• Exercice 2 — Une suite d'intégrales. On étudie la suite
  $$I_n=\int_0^1\frac{\mathrm{d}x}{(x+1)(x+2)\cdots(x+n)}.$$
  Le sujet commence doucement ($I_1$, puis $I_2$ par décomposition en éléments simples), puis construit un encadrement de $I_n$ par des factorielles, en déduit la convergence de $\sum I_n$, installe les inégalités $1+t\leq \exp(t)$ et $t-t^2\leq\ln(1+t)$, introduit $H_n$ et $S_n$, et s'en sert pour encadrer le produit $\prod_{k=1}^n(x+k)$ — d'où, au bout du fil, un équivalent de $I_n$. C'est le problème long du sujet : chaque question sert à la suivante, et la question 6 est entièrement guidée par une indication. Ne pas le commencer sans avoir en tête le critère des séries de Riemann.
• Exercice 3 — Puissances universelles. Un élément $a$ d'un anneau est une puissance universelle si, pour tout entier $k\geq1$, il existe $x$ tel que $x^k=a$. Deux parties indépendantes : d'abord dans $\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ (les cas $n=6$, $n=4$, puis $n$ premier avec le petit théorème de Fermat), ensuite dans $\mathcal{M}_n(\mathbb{R})$ (conjugaison, matrices diagonales à valeurs propres deux à deux distinctes, rotations du plan). L'exercice se termine par une question qui demande si une propriété démontrée sous hypothèse vaut encore quand on retire l'hypothèse : c'est de l'algèbre, mais c'est surtout de la logique.
• Exercice 4 — Tous à 6. Un joueur lance $N$ dés, met de côté ceux qui ont donné $6$, relance les autres, et recommence. $S_n$ compte les dés ayant donné $6$ après $n$ lancers. L'exercice établit par récurrence que $S_n$ suit une loi binomiale de paramètres $N$ et $1-\left(\frac56\right)^n$, puis introduit le temps d'attente $T$ du moment où tous les dés sont tombés sur $6$. Tout est guidé, formules à démontrer données ; le travail est celui du conditionnement propre et des manipulations de coefficients binomiaux.

C. Stratégie de composition

• Les exercices sont indépendants : l'ordre du sujet n'est pas un ordre de traitement. Le rapport 2025 le rappelle explicitement — les problèmes sont en général indépendants, « il n'est pas obligatoire de les traiter dans l'ordre de leur numérotation ». Numérote très lisiblement chaque question sur la copie, et le correcteur suivra.
• Commencer par le Vrai/Faux, oui — mais en le bornant. C'est l'exercice au meilleur rendement (sept questions courtes, indépendantes, sans effet domino), et le rapport 2025 observe qu'il est toujours abordé. Le piège est qu'il se dévore : une assertion résistante peut engloutir vingt minutes. Fixe-toi un plafond par assertion, laisse un blanc sur la copie, et passe. Tu y reviendras avec la tête reposée.
• Le long exercice se traite d'un seul tenant. L'exercice 2 est une chaîne : ses questions se relisent mutuellement, et l'interrompre coûte le temps de tout relire. Réserve-lui un bloc continu, plutôt que deux tranches.
• Une question bloquante s'admet et se dit. Si une question résiste, écris noir sur blanc « on admet le résultat de la question 3.(a) » et continue : la suite est notée pour elle-même. C'est parfaitement légitime et cela arrive dans presque toutes les bonnes copies. Ce qui n'est pas légitime, c'est de faire semblant d'avoir démontré.
• La part réservée à la relecture ne sert pas à chercher. Elle sert à vérifier que chaque théorème invoqué l'a été avec ses hypothèses, que chaque récurrence a sa conclusion, que chaque assertion fausse a bien reçu son contre-exemple, et qu'aucune question n'est restée sans phrase de conclusion. Son rendement est plus élevé que celui du même temps passé sur la question qu'on n'a pas su faire : c'est pourquoi elle se réserve d'avance, et ne se rogne pas.

D. Ce que le jury attend d'une copie

L'essentiel de ce qui suit est tiré du rapport du jury 2025, § 4.1. Il porte sur la première épreuve écrite de la session précédente — celle de l'ancien concours, à bac+5 — mais les attentes de rédaction y sont les mêmes, et c'est le dernier rapport publié.

• Une copie lisible. Le jury note « une réelle prise de conscience de l'importance de la qualité de la rédaction », mais déplore qu'un nombre trop important de candidats rende « une copie raturée, mal écrite et difficile à lire ». Sa phrase : la copie « doit être rédigée avec soin et sans fautes d'orthographe, être aérée et agréable à lire ». Cela se travaille avant, pas le jour J.
• Des quantificateurs bien positionnés. Le jury attend « une maitrise du langage mathématique, avec en particulier, des quantificateurs bien positionnés », et ajoute que « la maîtrise des éléments de langage est un indicateur de la compréhension des objets mathématiques eux-mêmes ». Écrire $\forall$ et $\exists$ dans le bon ordre n'est pas de la coquetterie : c'est l'énoncé lui-même.
• Les conditions d'application, toujours vérifiées. « L'utilisation des raccourcis IPP ou TVI ou encore TFA est à proscrire. Les conditions d'application de tout théorème doivent être vérifiées. » On écrit donc le nom du théorème en toutes lettres, et on énumère ses hypothèses sur le cas traité avant de conclure.
• Un vocabulaire exact. « Confondre une fonction et sa courbe représentative ou utiliser la notation limite sans s'être assuré de son existence est pénalisé. » Même règle pour $f$ et $f(x)$ : le premier est une fonction, le second un nombre. Et le rapport relève des « énoncés de propriétés classiques faux », dont celui qu'il cite : toute fonction continue est dérivable.
• L'existence avant la manipulation. Sur la partie intégration, le jury est net : « l'existence des intégrales manipulées se doit d'être vérifiée et les propriétés calculatoires utilisées à bon escient avec leurs conditions d'application justifiées ». Une intégrale qu'on écrit sans avoir dit pourquoi elle existe est une intégrale qu'on n'a pas le droit d'écrire.
• La récurrence a trois étapes. « Si la démonstration par récurrence est souvent bien menée sur les deux premières étapes, il s'agit de ne pas oublier la troisième qui est de conclure. » Initialisation, hérédité, conclusion — la dernière phrase coûte une ligne, et sans elle la récurrence n'est pas rédigée.
• Implication, équivalence, négation. Le rapport signale « des confusions entre implication et équivalence », et rappelle que « la négation d'une implication n'est pas une implication » — l'implication étant « au cœur des raisonnements mathématiques ». Contraposée et raisonnement par l'absurde doivent être maîtrisés et nommés.
• Un contre-exemple explicite pour toute assertion fausse — ce point-ci vient de la consigne du sujet, qui exige une justification assertion par assertion, et le rapport 2025 le relève en arithmétique, où il voit « la notion de contre-exemple utilisée à bon escient ». Retiens l'asymétrie : un contre-exemple prouve qu'une assertion universelle est fausse ; un exemple qui marche ne prouve rien quand elle est vraie — il faut alors une démonstration générale.
• Un mot sur la lucidité. Le jury s'étonne de voir « des candidats en difficulté pour répondre à des questions simples et réussir des questions a priori plus compliquées », et y lit « un manque de recul et de compréhension en profondeur des notions manipulées ». À l'inverse, il souligne que certains candidats optent pour « des raisonnements inhabituels, agréables à lire » : une originalité bien menée conforte le jury « dans les capacités d'adaptation et de réflexion » du candidat.

E. Pour t'entraîner

• Les quatre exercices du sujet sont dans l'onglet Pratiquer de ce chapitre, énoncés intégraux et non retouchés. Chacun porte des indices, un par question : ils donnent le premier geste, jamais le résultat.
• Les corrections sont découpées question par question (« 3.(b) — … ») : on peut en lire une sans se faire abîmer les suivantes. Chaque correction dit d'abord ce que la question teste et renvoie au chapitre de l'app où la notion est enseignée, puis rédige la preuve au niveau d'exigence du jury, signale les pièges, et termine par un recoupement indépendant.
• Le fascicule PDF du chapitre contient les quatre énoncés et leurs corrections : c'est lui qu'il faut imprimer pour composer sur papier, dans les conditions de l'épreuve, montre en main. Compose d'abord, corrige ensuite — lire une correction avant d'avoir cherché ne coûte rien sur le moment et coûte tout le jour du concours.
• La leçon d'approfondissement de ce chapitre reprend les quatre exercices un par un : ce qu'il faut savoir énoncer pour les aborder, les pièges propres à chacun, et le résultat général que le sujet construit sans toujours le nommer. À lire après une première composition, pas avant.