CAPES externe 2026 (bac+3) — Épreuve écrite 2

CAPES externe 2026 (bac+3) — Épreuve écrite 2 : le sujet en un coup d'œil

Idée. Ce chapitre te fait composer sur la seconde épreuve écrite de la session 2026, la première session du CAPES externe de mathématiques à bac+3. Cette épreuve ne ressemble pas à la première : au lieu d'exercices qui se suffisent à eux-mêmes, elle s'appuie sur des documents — des réponses rédigées à juger, un extrait de cours à lire, à démontrer et à prolonger, un extrait de manuel à exploiter. On y fait des mathématiques sur le texte d'un autre : repérer ce qui est faux, prouver ce qui est affirmé sans preuve, et n'utiliser que ce que le document autorise. Le sujet est reproduit ici, et chacune de ses questions reçoit une correction qui enseigne : ce que la question teste, la rédaction attendue, les pièges, et un recoupement qui prouve le résultat autrement. Cette leçon-ci est la carte du sujet : ce qu'il contient, ce que chaque partie demande de savoir faire, les chapitres de l'app à réviser avant de l'ouvrir, et comment y répartir ton temps.

Note (sources). Le sujet est reproduit depuis devenirenseignant.gouv.fr — © ministère chargé de l'Éducation nationale. Les questions et le Document 1 sont ceux du concours, sans retouche. ⚠️ Le Document 2 n'est pas reproduit dans l'app : c'est un extrait d'un manuel de terminale S, de la collection Math'x (éditions Didier, 2016). L'exercice de la Partie 3 en décrit la configuration avec nos propres mots, et le document lui-même se lit en page 14 du sujet officiel. Les corrections sont celles de Maths Post-Bac : elles sont écrites à partir du seul énoncé et certifiées par la machine — chaque échelonnement, chaque rang, chaque équation et chaque coordonnée affichés sont recalculés. Aucun rapport de jury n'est encore publié pour la session 2026 : les attendus cités dans la leçon d'approfondissement viennent du rapport de la session 2025, qui porte sur l'ancien concours.

A. L'épreuve

• La seconde épreuve d'admissibilité. La page de garde l'intitule « Épreuve d'admissibilité 2 » et la définit ainsi : « L'épreuve s'appuie sur plusieurs documents. Le candidat est invité à analyser, critiquer, le cas échéant, compléter le contenu des documents en vue de répondre à la ou aux questions posées et de résoudre des exercices. L'épreuve évalue les compétences disciplinaires. » Ses verbes — analyser, critiquer, compléter, puis répondre et résoudre — sont le programme de l'épreuve, et la dernière phrase en fixe le terrain : ce sont des compétences mathématiques qui sont évaluées.
• Quatre heures, coefficient 2. Le sujet imprime « Durée : 4 heures », et c'est aussi ce que fixe l'arrêté du 17 avril 2025, qui affecte cette épreuve du coefficient $2$ — contre $3$ pour la première épreuve écrite. Ici, contrairement à l'épreuve 1, la durée imprimée et la durée réglementaire coïncident.
• Les règles imprimées sur la première page. La calculatrice est autorisée « dans les conditions relevant de la circulaire du 17 juin 2021 BOEN du 29 juillet 2021 » ; tout ouvrage de référence, tout dictionnaire et tout autre matériel électronique sont interdits. La copie est anonyme : aucun nom, aucune signature, aucun signe distinctif. « Le fait de rendre une copie blanche est éliminatoire. » Et si tu crois repérer une erreur d'énoncé, la consigne est de la signaler très lisiblement sur la copie, d'en proposer la correction et de poursuivre en conséquence ; toute hypothèse que l'on est conduit à formuler se mentionne explicitement.
• Trois parties indépendantes, deux documents. La première ligne du sujet le dit : « Ce sujet est formé de trois parties indépendantes et comporte deux documents joints. » Sur seize pages, les questions en occupent six (pages 2 à 7), le Document 1 six autres (pages 8 à 13) et le Document 2 une seule (page 14). Autrement dit, les documents occupent sept pages, une de plus que les questions : ils sont à lire avant d'être à traiter.

B. Le sujet 2026 : trois parties, quatre blocs de travail

Plus $\frac{1}{20}$ du temps pour la relecture. Ces parts totalisent exactement le temps disponible : $\frac15+\frac14+\frac14+\frac14+\frac1{20}=1$. Sur les $240$ minutes de l'épreuve, arrondies à $5$ minutes, elles donnent $50$, $60$, $60$ et $60$ minutes, plus $10$ de relecture. ⚠️ Aucun barème n'est publié : ces parts sont une estimation de Maths Post-Bac — d'après le nombre et la nature des questions et la longueur des textes à lire —, pas un barème, et ce sont des repères, pas un minutage à tenir à la montre.

• Partie 1 — juger, puis rédiger. Trois exercices courts, chacun suivi d'une « Réponse » rédigée : résoudre dans $\mathbb{R}$ l'équation $x^3+x^2+x+1=0$ ; montrer qu'une fonction continue sur $\mathbb{R}$ telle que $(f(x))^2=1$ pour tout $x$ est constante ; étudier la convergence de la suite définie par $u_0=1$ et $u_{n+1}=2u_n+1$. Deux consignes, qui valent pour les trois : « Les réponses fournies sont-elles exactes ? Repérer les erreurs et critiquer la rédaction de chaque réponse proposée. », puis « Rédiger avec soin une réponse correcte pour chacun des exercices proposés. » Ce qu'il faut savoir faire : lire une preuve ligne à ligne, dire pour chaque étape ce qui l'autorise, distinguer la justesse d'une conclusion de la validité du raisonnement qui y mène — puis écrire soi-même une preuve complète. Tranche d'abord par toi-même, avant d'ouvrir la moindre correction.
• Partie 2 — lire, démontrer et prolonger un extrait de cours. Le Document 1 s'intitule « Extraits de cours sur la méthode de Gauss, les formes linéaires et les hyperplans ». En six pages, il aligne huit définitions, six propositions, cinq théorèmes, neuf remarques et trois exemples ; aucune de ses propositions, aucun de ses théorèmes n'y est démontré, et trois d'entre eux sont seulement suivis de « Commentaires sur la démonstration ». Les vingt questions le suivent pas à pas — le sujet le précise : « Les questions sont posées dans l'ordre chronologique de la lecture du document. » Elles demandent trois gestes : calculer (échelonner une matrice, discuter un rang selon un paramètre, résoudre un système, écrire une équation de plan), démontrer un énoncé du document lui-même — cinq questions demandent nommément la preuve d'un énoncé numéroté, la Proposition 3, le Théorème 2, la Remarque 6, la Proposition 5 et le Théorème 4, parfois avec la contrainte d'utiliser « les résultats qui le précèdent », et d'autres font démontrer une affirmation du texte sans la désigner par son numéro, comme la question 2 pour le cas des systèmes homogènes —, et interroger le texte : que devient un théorème si l'on remplace une implication par une équivalence, quel point commun entre un énoncé sur les systèmes et une équation différentielle, qu'est-ce qu'une propriété affirme exactement. Dans l'app, la Partie 2 est coupée en deux exercices, à la frontière des deux sections du sujet : chacun porte ses questions et la section du Document 1 qu'elles concernent.
• Partie 3 — exploiter un extrait de manuel. Sept questions, de A à G, sur le Document 2, que le sujet présente comme un « extrait d'un manuel » à propos de « l'intersection de plans ». Le manuel ne donne pas de repère ; le sujet en fixe un, en donnant les coordonnées de quatre points de la figure, et les questions font alors l'aller-retour entre la méthode du manuel et les outils du Document 1 — équations cartésiennes, faisceau de plans, forme linéaire dont un plan est le noyau. La dernière question porte sur la logique de l'énoncé : elle demande si une hypothèse est nécessaire ou si elle se déduit des autres. Le sujet prévient : « Toutes les réponses doivent être justifiées. »

C. Stratégie de composition

• Lire le Document 1 en entier avant la question 1. C'est un investissement, pas une perte de temps : les questions suivent le texte, et plusieurs d'entre elles exigent de savoir ce qui vient avant un énoncé — ce qu'on a le droit d'utiliser — et ce qui vient après — ce qu'on n'a pas le droit d'utiliser. Compte ce temps de lecture dans la part de la Partie 2.
• Les parties sont indépendantes : l'ordre du sujet n'est pas un ordre de traitement. Numérote très lisiblement ce que tu traites : « Partie 1, exercice 2, critique », « Question 11. ii) », « Question E » : c'est ce qui permet de retrouver chaque réponse.
• Dans la Partie 1, sépare les deux consignes. Pour chaque exercice, d'abord la critique de la réponse fournie, ensuite ta propre rédaction. Mêler les deux fait disparaître la critique dans la correction, alors que c'est elle que la première consigne demande.
• Une démonstration qui résiste ne bloque pas la suite. Dans la Partie 2, l'énoncé que l'on te demande de démontrer est écrit dans le document : les questions suivantes peuvent s'appuyer dessus, à condition de le citer par son nom et son numéro. Si une question résiste, écris-le, et continue. Ce qui n'est pas légitime, c'est de faire semblant d'avoir démontré.
• La part réservée à la relecture ne sert pas à chercher. Elle sert à vérifier que chaque théorème invoqué l'a été avec ses hypothèses, que chaque opération élémentaire est écrite, que chaque résultat du document utilisé est cité, qu'aucune démonstration n'utilise ce qu'elle démontre, et que chaque question se termine par une phrase qui répond à la question posée.

D. Pour t'entraîner

• Les quatre exercices du chapitre sont dans l'onglet Pratiquer : la Partie 1, la Partie 2 en deux blocs (questions 1 à 12 avec la section 1 du Document 1, questions 13 à 20 avec sa section 2), et la Partie 3, dont l'énoncé décrit le Document 2 et l'accompagne d'une figure de Maths Post-Bac. Chaque exercice porte des indices, un par question : ils donnent le premier geste, jamais le résultat.
• Les corrections sont découpées question par question : on peut en lire une sans se faire abîmer les suivantes. Chacune dit ce que la question teste et renvoie au chapitre de l'app où la notion est enseignée, rédige la réponse au niveau d'exigence attendu, signale les pièges, et termine par un recoupement indépendant.
• Le fascicule PDF du chapitre contient les énoncés et leurs corrections : c'est lui qu'il faut imprimer pour composer sur papier, montre en main. Pour la Partie 3, garde à côté la page 14 du sujet officiel, qui porte le Document 2. Compose d'abord, corrige ensuite.
• La leçon d'approfondissement reprend les trois parties une par une : ce qu'il faut savoir énoncer, les règles propres à une épreuve sur documents, les pièges d'une copie, et le résultat général que chaque partie construit. À lire après une première composition, pas avant.
• Et les autres annales du chapitre : l'épreuve écrite 1 de 2026 et le sujet zéro de l'épreuve 1. Les deux épreuves de la session 2026 se préparent ensemble : elles portent sur le même programme, mais pas avec les mêmes gestes.