CAPES externe bac+3 — Sujet zéro, épreuve écrite 1 (mai 2025)

CAPES externe bac+3 — Sujet zéro, épreuve écrite 1 : le sujet en un coup d'œil

Idée. Ce chapitre n'enseigne pas une notion neuve : il te fait composer sur le premier document que le ministère ait publié pour le concours bac+3. Diffusé en mai 2025, avant qu'aucune session n'ait eu lieu, il s'intitule « Exemple de sujet pour la première épreuve d'admissibilité » et il est accompagné d'un extrait de l'arrêté qui fixe les règles de l'épreuve. Ce n'est donc pas un sujet tombé : c'est la déclaration d'intention du concepteur, le seul document où le ministère dise lui-même à quoi ressemble une épreuve écrite du nouveau concours. Il est reproduit ici tel quel, ses quatre parties sont indépendantes, et chacune de leurs questions reçoit une correction qui enseigne : ce que la question teste, la rédaction attendue, le piège où l'on tombe, et un recoupement qui prouve le résultat autrement. Cette leçon-ci est la carte du sujet : ce qu'il contient, ce qu'il faut avoir révisé avant de l'ouvrir, et comment y répartir son temps de composition.

Note (sources). Le sujet est reproduit depuis devenirenseignant.gouv.fr — © ministère chargé de l'Éducation nationale ; les énoncés sont ceux du document officiel, sans retouche. ⚠️ Il n'existe ni corrigé officiel, ni rapport du jury pour le sujet zéro, et pour une raison simple : aucune session ne s'est déroulée sur lui. Les corrections sont celles de Maths Post-Bac — écrites à partir du seul énoncé et certifiées par la machine (chaque valeur affichée est recalculée, chaque contre-exemple est éprouvé sur des instances). Les attendus de rédaction cités plus bas viennent du rapport du jury 2025, qui porte sur la dernière session de l'ancien concours, à bac+5 : analogue, et non identique. C'est le seul rapport publié à ce jour, et chacune de ses phrases citée ici l'est mot pour mot.

A. L'épreuve, et ce que ce document est exactement

• Un exemple, pas un sujet d'épreuve — et la différence se voit à la première page. La couverture porte « Concours externe BAC + 3 du CAPES », « Cafep-Capes », « Section Mathématiques », puis annonce deux contenus : « 1) Exemple de sujet pour la première épreuve d'admissibilité 2) Extrait de l'arrêté du 17 avril 2025 ». Une note renvoie à « l'arrêté du 17 avril 2025 fixant les modalités d'organisation du concours externe du certificat d'aptitude au professorat de l'enseignement du second degré, publié au Journal Officiel du 19 avril 2025 ». Conséquence pratique, à connaître avant de s'entraîner dessus : ce document ne porte aucune page de consignes matérielles. Rien sur la calculatrice, rien sur l'anonymat de la copie, rien sur ce qui est autorisé sur la table. Ces consignes-là se lisent sur le sujet du jour, et il ne faut surtout pas conclure de leur absence ici qu'elles n'existent pas.
• La règle de l'épreuve, telle que le sujet zéro la reproduit. Sa dernière page est un extrait de l'annexe de l'arrêté, sous le titre « Réglementation de la première épreuve d'admissibilité » : « Le sujet est constitué de plusieurs exercices ou problèmes. L'épreuve permet d'apprécier la maîtrise des connaissances disciplinaires et l'aptitude à les mobiliser. Elle sollicite également les capacités de raisonnement, de démonstration et d'expression écrite du candidat, dans un langage adapté. » Puis, chacun sur sa ligne : « Durée : quatre heures. », « Coefficient 3. », et « L'épreuve est notée sur 20. Une note globale égale ou inférieure à 5 est éliminatoire ». Les derniers mots de la citation — « dans un langage adapté » — ne sont pas décoratifs : la langue est notée, au même titre que le calcul. Et l'adjectif « globale » n'est pas précisé davantage dans l'extrait reproduit — le retenir tel quel plutôt que l'interpréter.
• ⚠️ Deux durées circulent, et il faut connaître les deux. L'arrêté fixe l'épreuve à quatre heures, coefficient 3, et le sujet zéro en reproduit l'extrait tel quel : c'est la durée que ce document affiche. Le sujet réellement distribué à la session 2026, lui, portait « Durée : 5 heures » sur sa page de garde — le détail est dans la leçon du sujet 2026. Le jour J, on compose sur la durée imprimée sur son sujet. Pour s'entraîner sur celui-ci, les quatre heures sont le bon étalon, puisque c'est ce que le sujet zéro imprime.
• Le programme, et la porte qu'il laisse ouverte. Le programme des épreuves écrites est, mot pour mot, « le tronc commun des programmes des différentes licences de mathématiques » : 18 rubriques, du raisonnement ensembliste au calcul numérique, en passant par l'algèbre linéaire, l'arithmétique, les espaces euclidiens, les probabilités et l'algorithmique. Aucune connaissance exigible ne se trouve en dehors. Mais le programme ajoute, en toutes lettres : « Les concepteurs de sujets pourront être amenés à rappeler certains théorèmes ou résultats dans les énoncés. » Le sujet zéro s'en sert plusieurs fois : la partie III rappelle la matrice d'une rotation du plan dans une base orthonormée directe, et définit l'itérée $r^k$ par récurrence ; la partie IV définit sur un exemple à douze lancers ce qu'elle appelle une « série », et admet l'une des deux relations symétriques dont elle a besoin. Ce qu'on attend n'est donc pas de tout savoir par cœur, mais de savoir employer une définition telle qu'elle est donnée, y compris quand elle n'est pas celle qu'on aurait choisie.
• ⚠️ Huit rubriques sur dix-huit ne sont pas visitées du tout : fonctions de deux variables, courbes paramétrées, suites et séries de fonctions, groupes, statistique à une variable, statistique à deux variables, algorithmique, calcul numérique. C'est logique — un sujet de quatre heures ne balaie pas tout un programme de licence — mais c'est un piège de révision : un exemple de sujet n'est pas un échantillon représentatif, et l'absence d'une rubrique ici ne dit rien de sa présence le jour du concours. Le sujet 2026, lui, visite d'autres rubriques.
• La consigne du Vrai/Faux, qui vaut avertissement pour tout le sujet. La partie I s'ouvre ainsi : « Pour chacun des items suivants, préciser si l'assertion finale est vraie ou fausse et justifier la réponse donnée. Toute réponse non argumentée ne sera pas prise en compte. » Le rapport du jury 2025 le redit sans nuance à propos d'un Vrai/Faux analogue : « Il s'agit de répondre et d'argumenter chaque réponse ; dans le cas contraire, aucun point n'est attribué à la question. » Cocher vrai ou faux au jugé rapporte donc exactement zéro, même quand le verdict est juste.
• Ce que les deux sujets publiés ont en commun. Le sujet zéro annonce en tête « Ce sujet est formé de quatre parties indépendantes » ; le sujet 2026 est fait de quatre exercices indépendants. Les deux s'ouvrent par un Vrai/Faux à justification obligatoire, et les deux réservent leur plus long développement à une étude d'analyse. Deux documents ne font pas une régularité, et rien ne garantit ce format pour les sessions suivantes — mais c'est, à ce jour, tout ce que l'on peut dire de sourcé sur la forme de l'épreuve.

B. Le sujet zéro : quatre parties indépendantes

Plus $\frac{1}{20}$ du temps pour la relecture, et la section C explique pourquoi cette part ne se négocie pas. Ces cinq parts totalisent exactement le temps disponible : $\frac16+\frac13+\frac15+\frac14+\frac1{20}=1$. Sur les $240$ minutes que le sujet zéro annonce, elles donnent, arrondies à $5$ minutes : $40$, $80$, $50$, $60$, plus $10$ de relecture. Sur une épreuve de $300$ minutes, elles tombent juste sans aucun arrondi : $50$, $100$, $60$, $75$, plus $15$. Ce sont des repères, pas un minutage à tenir à la montre.

• Partie I — Vrai/Faux. Six items indépendants, groupés en trois rubriques que le sujet nomme lui-même : Polynômes (irréductibilité dans $\mathbb{R}[X]$ ; un polynôme de degré $3$ donné, à propos duquel on demande s'il est le polynôme caractéristique d'une matrice carrée inversible à coefficients réels), Équations différentielles (une équation du second ordre à coefficients constants $y''+2ay'+a^2y=0$ avec $a>0$, et la limite de ses solutions en $+\infty$ ; puis une équation du premier ordre $xy'(x)+b(x)y(x)=0$, dont on demande si son ensemble de solutions réelles est « toujours » une droite vectorielle), Raisonnement/définitions (deux assertions $\mathcal{P}$ et $\mathcal{Q}$ qui ne diffèrent que par l'ordre de deux quantificateurs, et dont on demande si elles sont équivalentes ; puis trois entiers naturels, dont on demande si deux au moins sont congrus modulo $2$). Aucun item n'est long ; chacun demande une justification complète. C'est la partie où l'on marque le plus vite — et celle où une réponse non argumentée n'est pas prise en compte, l'énoncé le dit.
• Partie II — une fonction définie par une intégrale. On pose $f(x)=\dfrac{1}{\ln(x)}$ et
  $$F(x)=\int_x^{2x} f(t)\,\mathrm{d}t,$$
  et l'on étudie $F$ sur $D=\left]0,\tfrac12\right[\,\cup\,\left]1,+\infty\right[$ : domaine de définition, existence de primitives, dérivée, tableau de variations, encadrements par $\dfrac{x}{\ln(2x)}$ et $\dfrac{x}{\ln(x)}$, limites en $+\infty$, en $1$, en $\tfrac12$ et en $0$, puis allure de la courbe. La question 8 change d'objet : elle prend une fonction $\varphi$ continue sur $[2,+\infty[$ d'intégrale convergente, en fait sortir deux propriétés générales, et s'en sert pour conclure sur la nature de l'intégrale de $f$ sur $[2,+\infty[$. C'est la partie longue du sujet — huit questions, dix-sept sous-questions —, et la plupart de ses maillons servent au suivant.
• Partie III — sommes trigonométriques et moyennes de rotations. On démontre d'abord une équivalence sur l'exponentielle complexe, puis on calcule en forme close $E_n=\sum_{k=0}^{n}\mathrm{e}^{ik\theta}$, d'où les moyennes $S_n=\frac1n\sum\cos k\theta$ et $T_n=\frac1n\sum\sin k\theta$ et leurs limites ; le cas dégénéré $\theta\in2\pi\mathbb{Z}$ est traité à part. La partie bascule ensuite en géométrie : $r$ est une rotation du plan d'angle $\theta$, on note $r^k$ son itérée, et l'on demande la limite de $\frac1n\sum_{k=0}^{n}r^k(x)$ — d'abord dans $\mathbb{R}^2$, puis dans $\mathbb{R}^3$ pour une rotation d'axe $D$ et de plan $\mathcal{P}$, sur un vecteur de l'axe puis sur un vecteur quelconque. Cinq questions, huit sous-questions : c'est le plus court des trois problèmes, et c'est celui où le calcul déjà fait se reconnaît au lieu de se refaire.
• Partie IV — les séries d'une suite de pile ou face. Un joueur effectue $n$ lancers indépendants d'une pièce qui donne pile avec la probabilité $p$, et l'on compte le nombre $N_k$ de séries — de blocs consécutifs du même côté — obtenues après $k$ lancers. Les deux premières questions travaillent avec une pièce quelconque : loi et espérance de $N_1$ et de $N_2$, ensemble $N_n(\Omega)$, puis $P(N_n=1)$ et $P(N_n=n)$. Un chapeau impose ensuite $p=q=\tfrac12$ pour toute la suite, et introduit la fonction génératrice $G_k(t)=\sum_{i=1}^{n}P(N_k=i)\,t^i$. L'énoncé demande alors d'établir $G_k'(1)=E(N_k)$, une relation de récurrence obtenue par conditionnement sur le dernier lancer, sa traduction $G_k(t)=\left(\frac{t+1}{2}\right)G_{k-1}(t)$, sa forme close $G_k(t)=t\left(\frac{t+1}{2}\right)^{k-1}$, et enfin l'espérance et la loi de $N_k$. Six questions, dix sous-questions, entièrement guidées.

C. Stratégie de composition

• Les parties sont indépendantes : l'ordre du sujet n'est pas un ordre de traitement. Le sujet l'écrit en tête (« Ce sujet est formé de quatre parties indépendantes ») et le rapport 2025 le rappelle à propos de l'épreuve précédente — « les problèmes sont en général indépendants et qu'il n'est pas obligatoire de les traiter dans l'ordre de leur numérotation ». Numérote très lisiblement chaque question sur la copie, et le correcteur suivra.
• Commencer par le Vrai/Faux, oui — mais en le bornant. Six questions courtes, indépendantes, sans effet domino : c'est le meilleur rendement du sujet, et le rapport 2025 observe qu'un exercice de ce type « a toujours été abordé ». Le piège est qu'il se dévore : un item résistant peut engloutir vingt minutes. Fixe-toi un plafond par item, laisse un blanc sur la copie, et passe. Tu y reviendras la tête reposée.
• La partie II se traite d'un seul tenant. Ses questions se relisent mutuellement, et l'interrompre coûte le temps de tout relire. Réserve-lui un bloc continu plutôt que deux tranches. Sa question 8 fait exception : elle porte sur une fonction $\varphi$ quelconque et ne revient à $f$ qu'à la toute fin — elle peut se traiter séparément si le temps manque ailleurs, à une réserve près : sa dernière sous-question a besoin du résultat de 4 (b).
• La partie III paie le fait d'avoir lu jusqu'au bout avant de commencer. Ses deux dernières questions ne redemandent aucun calcul neuf : elles redemandent de reconnaître celui de la question 2 dans une matrice. Lire les cinq questions d'affilée avant d'écrire la première ligne fait gagner plus que n'en coûte la lecture.
• Une question bloquante s'admet et se dit. Si une question résiste, écris noir sur blanc « on admet le résultat de la question 4 » et continue : la suite est notée pour elle-même. C'est parfaitement légitime. Ce qui ne l'est pas, c'est de faire semblant d'avoir démontré.
• La part réservée à la relecture ne sert pas à chercher. Elle sert à vérifier que chaque théorème invoqué l'a été avec ses hypothèses, que chaque récurrence a sa conclusion, que chaque assertion fausse a bien reçu son contre-exemple, et qu'aucune question n'est restée sans phrase de conclusion. Son rendement dépasse celui du même temps passé sur la question qu'on n'a pas su faire : c'est pourquoi elle se réserve d'avance, et ne se rogne pas.

D. Ce que le jury attend d'une copie

L'essentiel de ce qui suit est tiré du rapport du jury 2025, § 4.1. Il porte sur la première épreuve écrite de l'ancien concours, à bac+5, et non sur une épreuve bac+3 — mais les attentes de rédaction y sont les mêmes, et c'est le dernier rapport publié. Aucun rapport ne porte sur le sujet zéro, puisqu'il n'a été composé par personne.

• Une copie lisible. Le jury note « une réelle prise de conscience de l'importance de la qualité de la rédaction », mais relève qu'« un nombre de candidats trop important rend une copie raturée, mal écrite et difficile à lire ». Sa phrase : « La copie rendue doit être rédigée avec soin et sans fautes d'orthographe, être aérée et agréable à lire. » Cela se travaille avant, pas le jour J.
• Des quantificateurs bien positionnés. Le jury attend « une maitrise du langage mathématique, avec en particulier, des quantificateurs bien positionnés », et ajoute que « La maîtrise des éléments de langage est un indicateur de la compréhension des objets mathématiques eux-mêmes. » Sur un sujet dont un item compare $\forall f\,\exists x$ et $\exists x\,\forall f$, la remarque n'est pas générale : elle est ciblée.
• Les conditions d'application, toujours vérifiées. « L'utilisation des raccourcis IPP ou TVI ou encore TFA est à proscrire. Les conditions d'application de tout théorème doivent être vérifiées. » On écrit donc le nom du théorème en toutes lettres, et on énumère ses hypothèses sur le cas traité avant de conclure. Le rapport ajoute que « les phrases du type « on voit que » ou « il est trivial » doivent s'utiliser avec parcimonie et de manière adéquate ».
• Un vocabulaire exact. « L'utilisation rigoureuse du vocabulaire est bonifiée : confondre une fonction et sa courbe représentative ou utiliser la notation «limite» sans s'être assuré de son existence est pénalisé. » La partie II demande précisément l'allure d'une courbe représentative et une demi-douzaine de limites : la remarque tombe pile. Le rapport relève aussi « trop de confusions entre une fonction et ses valeurs (f et f(x)), ou des énoncés de propriétés classiques faux (toute fonction continue est dérivable) ».
• L'existence avant la manipulation. Sur la partie intégration, le jury est net : « l'existence des intégrales manipulées se doit d'être vérifiée et les propriétés calculatoires utilisées à bon escient avec leurs conditions d'application justifiées ». Une intégrale qu'on écrit sans avoir dit pourquoi elle existe est une intégrale qu'on n'a pas le droit d'écrire — et c'est exactement ce que la première question de la partie II demande d'établir.
• La récurrence a trois étapes. « Si la démonstration par récurrence est souvent bien menée sur les deux premières étapes, il s'agit de ne pas oublier la troisième qui est de conclure. » Initialisation, hérédité, conclusion : la dernière phrase coûte une ligne, et sans elle la récurrence n'est pas rédigée. Le sujet zéro en demande au moins deux.
• Implication, équivalence, négation. Le rapport rappelle que « la négation d'une implication n'est pas une implication » et que « l'implication est au cœur des raisonnements mathématiques » ; il signale ailleurs « On note également des confusions entre implication et équivalence. » Sur un sujet dont la partie III s'ouvre sur une équivalence à démontrer, et dont la partie I demande si deux assertions sont équivalentes, le point est central : une équivalence se démontre dans les deux sens, ou par une chaîne d'équivalences dont chaque maillon est justifié.
• Un contre-exemple explicite pour toute assertion fausse — la consigne du sujet exige une justification item par item, et le rapport 2025 relève en arithmétique « la notion de contre-exemple utilisée à bon escient ». Retiens l'asymétrie : un contre-exemple prouve qu'une assertion universelle est fausse ; un exemple qui marche ne prouve rien quand elle est vraie — il faut alors une démonstration générale.
• Un mot sur la lucidité. Le jury s'étonne « de voir des candidats en difficulté pour répondre à des questions simples et réussir des questions a priori plus compliquées », et y lit « un manque de recul et de compréhension en profondeur des notions manipulées ». À l'inverse, il souligne que « certains candidats optent pour des raisonnements inhabituels, agréables à lire » : une originalité bien menée conforte le jury dans les capacités d'adaptation et de réflexion du candidat.

E. Pour t'entraîner

• Les quatre parties du sujet sont dans l'onglet Pratiquer de ce chapitre, énoncés intégraux et non retouchés. Chacune porte des indices, un par question : ils donnent le premier geste, jamais le résultat.
• Les corrections sont découpées question par question (« 5. (b) — … ») : on peut en lire une sans se faire abîmer les suivantes. Chaque correction dit d'abord ce que la question teste et renvoie au chapitre de l'app où la notion est enseignée, puis rédige la preuve au niveau d'exigence attendu, signale les pièges, et termine par un recoupement indépendant.
• Le fascicule PDF du chapitre contient les quatre énoncés et leurs corrections : c'est lui qu'il faut imprimer pour composer sur papier, dans les conditions de l'épreuve, montre en main. Compose d'abord, corrige ensuite — lire une correction avant d'avoir cherché ne coûte rien sur le moment et coûte tout le jour du concours.
• La leçon d'approfondissement de ce chapitre reprend les quatre parties une par une : ce qu'il faut savoir énoncer pour les aborder, les pièges propres à chacune, et le résultat général que le sujet construit sans toujours le nommer. À lire après une première composition, pas avant.
• Et le sujet 2026 est un second chapitre-annale complet : CAPES externe 2026, épreuve écrite 1. Composer les deux, dans l'ordre chronologique, est le meilleur usage qu'on puisse en faire — le sujet zéro annonce le format, le sujet 2026 montre ce qu'il est devenu.