Sujet et corrigé — CAPES externe 2026 (bac+3) — Épreuve écrite 2

Exercice 1 — critique. Remplacer chacune des deux valeurs proposées dans l'équation de départ. Puis relire la réponse en écrivant, entre deux phrases, le connecteur logique qu'elle suppose : $\Longrightarrow$ ou $\iff$ ? Une chaîne d'implications donne des candidats, pas des solutions.

Exercice 1 — rédaction. Regrouper les termes deux à deux : $x^3+x^2$ et $x+1$ ont un facteur commun. Le second facteur obtenu peut-il s'annuler pour un réel $x$ ? Terminer par l'ensemble des solutions.

Exercice 2 — critique. Écrire avec des quantificateurs ce que la réponse démontre, puis ce qu'elle conclut : sont-ce les mêmes phrases ? Chercher ensuite l'hypothèse de l'énoncé qui n'intervient nulle part, et construire une fonction qui la viole tout en vérifiant le reste.

Exercice 2 — rédaction. Supposer que $f$ prenne deux valeurs différentes, en $0$ et en un réel $x_0$. Quel réel est alors compris entre $f(0)$ et $f(x_0)$, et quel théorème affirme qu'il est atteint ? Nommer le segment sur lequel on l'applique.

Exercice 3 — critique. Calculer les premiers termes. Puis examiner la propriété $\mathcal{H}_n$ : dépend-elle vraiment de $n$ ? Enfin, quelle hypothèse du théorème de la limite monotone la réponse oublie-t-elle, et la limite trouvée est-elle compatible avec $u_n\geq0$ ?

Exercice 3 — rédaction. Démontrer par récurrence une minoration de $u_n$ par une suite qui tend vers $+\infty$, par exemple $n+1$ : la propriété doit porter sur un entier $n$. Pour une vérification, poser $v_n=u_n+1$.

Trois exercices de première année, trois réponses fautives — et trois fautes de nature différente. Les calculs sont courts : chacun des trois exercices se résout en quelques lignes. Ce que la partie teste, c'est la capacité à lire une démonstration comme on lit une copie : distinguer ce qui est démontré de ce qui est seulement affirmé, localiser l'étape qui cède, et nommer la faute.

Les deux consignes n'appellent pas le même travail.

• Consigne 1 (critique). Trois questions pour chaque réponse, dans cet ordre. La conclusion est-elle vraie ? Cela se juge indépendamment de la réponse, mais un calcul ne tranche pas toujours. Une substitution suffit à réfuter la conclusion de l'exercice 1 ($P(1)=4$). Pour l'exercice 3, les premiers termes $1$, $3$, $7$, $15$ rendent la limite $-1$ suspecte, sans rien prouver : une suite qui commence par $1$, $3$, $7$, $15$ peut très bien converger ensuite ; seule une preuve tranche (la croissance avec un premier terme égal à $1$, ou une minoration). Pour l'exercice 2, la conclusion est vraie, et seule une démonstration l'établit. Où est la première étape fausse, et de quelle nature est l'erreur ? La nommer précisément : implication lue comme une équivalence, quantificateurs échangés, théorème invoqué sans l'une de ses hypothèses, raisonnement circulaire. Que vaut la rédaction ? Variables introduites, connecteurs logiques, phrases complètes, conclusion écrite.
• Consigne 2 (rédaction). Une réponse complète au niveau attendu d'un professeur : hypothèses nommées, théorèmes cités avec leurs conditions, quantificateurs écrits, conclusion explicite.

L'exercice 2 est le plus instructif : conclusion exacte, démonstration nulle. « Les réponses fournies sont-elles exactes ? » ne se réduit pas au résultat final. Une démonstration fausse d'un énoncé vrai reste fausse ; et, dans l'autre sens, repérer une erreur dans un raisonnement n'autorise pas à conclure que le résultat est faux. Les deux jugements — sur la conclusion, sur l'argument — se font séparément.

Trois réflexes trouvent à eux seuls l'essentiel des fautes de cette partie.

• Tester la conclusion sur un cas concret : $1^3+1^2+1+1=4$ (exercice 1) réfute la conclusion ; $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=15$ (exercice 3) la rendent seulement suspecte. Un test peut réfuter une conclusion, jamais la prouver.
• Chercher l'hypothèse de l'énoncé qui n'a pas servi : la continuité de $f$ (exercice 2). Un argument qui n'utilise pas une hypothèse démontre l'énoncé sans elle — il suffit alors de tester cet énoncé affaibli.
• Chercher l'hypothèse du théorème qui n'a pas été vérifiée : « majorée », dans le théorème de la limite monotone (exercice 3).

Enfin, une critique ne se limite pas à dire « c'est faux » : elle localise, elle nomme, et elle justifie par un contre-exemple ou une vérification. Elle dit aussi ce qui est juste — dans les exercices 1 et 3, une réponse correcte peut réutiliser les bonnes étapes de la réponse fautive, en corrigeant l'étape qui cède et en ajoutant ce qui manquait (voir les variantes qui réparent la réponse fournie).

Ce que ça teste. La différence entre une implication et une équivalence quand on résout une équation, c'est-à-dire le raisonnement par analyse-synthèse de Raisonnement ; et la factorisation d'un polynôme à l'aide d'une racine, vue dans Polynômes.

La réponse est-elle exacte ? Non. Elle annonce deux solutions, $-1$ et $1$. Or $1$ n'est pas solution :

Une seule substitution réfute la conclusion. C'est le premier geste à faire devant toute résolution d'équation : remplacer les valeurs trouvées dans l'équation de départ. En revanche $(-1)^3+(-1)^2+(-1)+1=0$ : $-1$ est bien solution.

Où est l'erreur, phrase par phrase. On note $P(x)=x^3+x^2+x+1$.

Première phrase. « Si $x$ est solution, en multipliant l'équation par $x$, on obtient $x^4+x^3+x^2+x=0$. » C'est juste, comme implication : si $P(x)=0$, alors $xP(x)=0$.

Deuxième phrase. « Mais, $x^3+x^2+x=-1$, donc $x^4=1$. » Juste aussi : l'égalité $x^3+x^2+x=-1$ est l'équation de départ réécrite, et la reporter dans la précédente donne $x^4-1=0$. Le connecteur « Mais » n'exprime ici aucune opposition : c'est « Or » qui convenait.

Troisième phrase. « Il s'ensuit que les seules solutions de l'équation sont $x=-1$ et $x=1$. » C'est là que le raisonnement cède. Dans $\mathbb{R}$, $x^4=1$ équivaut bien à $x\in\{-1,1\}$, puisque $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ et que $x^2+1>0$. Mais les deux premières phrases n'ont établi qu'une implication :

Autrement dit, l'ensemble $\mathcal{S}$ des solutions réelles est inclus dans $\{-1,1\}$. C'est une condition nécessaire : elle fournit des candidats, elle ne dit pas lesquels sont solutions. La réponse conclut pourtant à l'égalité $\mathcal{S}=\{-1,1\}$, sans la réciproque. L'erreur est là : une implication lue comme une équivalence — une analyse sans synthèse.

D'où vient la solution parasite. Les deux premières phrases combinées reviennent à écrire $xP(x)-P(x)=0$, c'est-à-dire à multiplier l'équation par $x-1$. En effet, pour tout réel $x$,

L'équation $x^4=1$ n'est donc autre que $(x-1)P(x)=0$, dont les solutions réelles sont celles de $P(x)=0$ et le réel $1$. Multiplier une équation par une expression qui peut s'annuler produit une implication, pas une équivalence : on peut gagner des solutions, mais aucune solution de départ ne disparaît. Une fois ce mécanisme vu, la valeur $1$ est suspecte d'emblée.

La critique de la rédaction. Même là où elle est juste, la réponse est mal rédigée.

• Le passage de $x^4=1$ à « $x=-1$ ou $x=1$ » n'est pas justifié. Il est vrai dans $\mathbb{R}$ et faux dans $\mathbb{C}$, où $i$ et $-i$ conviennent aussi : c'est précisément le « dans $\mathbb{R}$ » de l'énoncé qu'il fallait faire intervenir.
• « les seules solutions de l'équation sont $x=-1$ et $x=1$ » mêle deux affirmations : « il n'y en a pas d'autres » (démontré) et « ces deux-là en sont » (non démontré, et faux pour $1$).
• Rien ne signale que le raisonnement est une analyse. Écrire « Analyse. Supposons que $x$ soit une solution réelle… » puis « Synthèse. » aurait rendu visible l'étape manquante.
• Aucune conclusion n'est écrite sous la forme qu'appelle le verbe « résoudre » : l'ensemble des solutions, $\mathcal{S}=\dots$

Les pièges pour qui critique.

• Ne pas jeter la démarche. Les deux premières phrases sont justes et utiles : elles réduisent la recherche à deux candidats. Il suffit d'y ajouter la vérification des candidats pour obtenir une réponse correcte (voir l'entrée suivante).
• Ne pas s'arrêter à « $1$ n'est pas solution ». Le calcul $P(1)=4$ montre que la conclusion est fausse ; la consigne demande aussi de repérer l'erreur dans le raisonnement, donc de désigner la phrase où l'implication est prise pour une équivalence, et d'expliquer d'où vient la valeur en trop.

Recoupement. Par factorisation, $P(x)=(x+1)(x^2+1)$ et $x^4-1=(x-1)(x+1)(x^2+1)$ : le quotient de $x^4-1$ par $P(x)$ vaut exactement $x-1$, le facteur qui porte la racine parasite. Dans $\mathbb{C}$, les racines de $P$ sont $-1$, $i$ et $-i$, celles de $x^4-1$ sont $1$, $-1$, $i$ et $-i$ : on lit directement la racine en trop, $1$. Les deux factorisations et les valeurs $P(1)=4$, $P(-1)=0$ sont certifiées par la machine.

Ce que ça teste. Factoriser un polynôme grâce à une racine évidente ou à un regroupement de termes (Polynômes, section sur les racines et la factorisation par $X-a$), puis conclure par la règle du produit nul.

La rédaction attendue.

Pour tout réel $x$, on note $P(x)=x^3+x^2+x+1$. En regroupant les termes deux à deux, pour tout réel $x$ :

On pouvait aussi remarquer que $-1$ est racine évidente, puisque $P(-1)=-1+1-1+1=0$, puis diviser par $x+1$ : le quotient est $x^2+1$.

Soit $x\in\mathbb{R}$. Un produit de réels est nul si et seulement si l'un au moins de ses facteurs est nul, donc

Or, pour tout réel $x$, $x^2\geqslant0$, donc $x^2+1\geqslant1>0$ : l'équation $x^2+1=0$ n'a aucune solution réelle. Ainsi $P(x)=0\iff x=-1$.

Conclusion : l'ensemble des solutions réelles de l'équation est $\mathcal{S}=\{-1\}$.

Chaque étape étant une équivalence, aucune vérification a posteriori n'est logiquement nécessaire ; la faire ne coûte rien et confirme : $P(-1)=0$.

Variante : réparer la réponse fournie par une analyse-synthèse.

Analyse. Soit $x$ une solution réelle. Alors $xP(x)-P(x)=0$, c'est-à-dire $x^4-1=0$. Comme $x^4-1=(x^2-1)(x^2+1)$ et $x^2+1>0$, on obtient $x^2=1$, donc $x=-1$ ou $x=1$.

Synthèse. $P(-1)=0$, donc $-1$ est solution ; $P(1)=4\neq0$, donc $1$ n'est pas solution.

Conclusion. $\mathcal{S}=\{-1\}$.

C'est la réponse fournie, complétée par la seule étape qui lui manquait.

Variante : la somme géométrique. Pour tout réel $x\neq1$, $1+x+x^2+x^3=\dfrac{x^4-1}{x-1}$. Donc, pour $x\neq1$, $P(x)=0$ équivaut à $x^4=1$, c'est-à-dire, dans $\mathbb{R}$ et avec $x\neq1$, à $x=-1$. Le réel $1$ se traite à part : $P(1)=4\neq0$. On retrouve $\mathcal{S}=\{-1\}$ — et on voit exactement où la réponse fournie a failli : l'équivalence entre $P(x)=0$ et $x^4=1$ n'est valable que pour $x\neq1$.

Les pièges.

• Résoudre dans $\mathbb{C}$ au lieu de $\mathbb{R}$. Les nombres $i$ et $-i$ sont racines de $P$, mais ne sont pas des solutions de l'équation posée « dans $\mathbb{R}$ ». Les mentionner n'est pas faux ; les inclure dans $\mathcal{S}$ l'est.
• Affirmer $x^2+1\neq0$ sans raison. Une ligne suffit — $x^2+1\geqslant1>0$ — mais elle doit être écrite : c'est elle qui élimine le second facteur.
• Oublier de conclure par un ensemble. « Résoudre » demande l'ensemble des solutions : on termine par $\mathcal{S}=\{-1\}$.

Recoupement indépendant, sans factoriser. $P'(x)=3x^2+2x+1=3\left(x+\tfrac13\right)^2+\tfrac23$, donc $P'(x)\geqslant\tfrac23>0$ pour tout réel $x$ (le discriminant de $P'$ vaut $4-12=-8<0$). La fonction $P$ est donc strictement croissante sur $\mathbb{R}$ et s'annule au plus une fois ; comme $P(-1)=0$, $-1$ est l'unique solution. Le théorème des valeurs intermédiaires localisait d'ailleurs cette racine avant même de la connaître : $P(-2)=-5<0<1=P(0)$. Factorisation, dérivée et valeurs sont certifiées par la machine.

Ce que ça teste. Le maniement des quantificateurs — ce que « pour tout » permet et ne permet pas (Raisonnement) — et le rôle de la continuité dans le passage d'une information ponctuelle à une information globale (Fonctions d'une variable réelle).

La réponse est-elle exacte ? La conclusion, oui ; la démonstration, non. Sous les hypothèses de l'énoncé, $f$ est bien constante, égale à $1$ ou à $-1$ : c'est démontré dans l'entrée suivante. Mais la réponse fournie ne le démontre pas. C'est ainsi qu'il faut le dire, sans raccourci : une conclusion exacte ne rend pas exacte une démonstration fausse, et c'est la démonstration que l'exercice demande (« Montrer que »).

Où est l'erreur. La réponse établit, pour chaque réel $x$ fixé, que $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$. Elle a donc démontré

Elle en conclut « $f$ est constante égale à $-1$ ou $1$ », c'est-à-dire

Ces deux phrases ne sont pas équivalentes. La seconde entraîne la première ; la réciproque est fausse en général. Dans la première, le choix entre $1$ et $-1$ dépend de $x$ ; dans la seconde, il est fait une fois pour toutes. « Pour tout » se distribue sur « et », mais pas sur « ou ».

La même faute, vue comme un échange de quantificateurs. Dire « $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$ », c'est dire qu'il existe $k\in\{-1,1\}$ tel que $f(x)=k$. La réponse a donc démontré $\forall x\in\mathbb{R},\ \exists k\in\{-1,1\},\ f(x)=k$, et elle conclut $\exists k\in\{-1,1\},\ \forall x\in\mathbb{R},\ f(x)=k$ : un $\forall$ et un $\exists$ ont été échangés, ce qui change le sens d'un énoncé.

Le signal d'alarme : la continuité n'a servi à rien. Le mot « continue » n'apparaît pas dans la réponse, et aucune de ses étapes n'utilise cette hypothèse. Or un argument qui n'utilise pas une hypothèse démontre l'énoncé sans elle. Il suffit donc de tester l'énoncé privé de la continuité. Soit

Pour tout réel $x$, $\big(g(x)\big)^2=1$ ; et $g$ n'est pas constante, puisque $g(0)=1$ et $g(-1)=-1$. Recopiée mot pour mot avec $g$ à la place de $f$, la réponse fournie « démontrerait » que $g$ est constante : elle ne peut donc pas être une démonstration. La seule hypothèse de l'énoncé que $g$ ne vérifie pas est la continuité (elle est discontinue en $0$) : toute démonstration correcte doit donc s'en servir.

La critique de la rédaction.

• « Soit $x\in\mathbb{R}$ » introduit un réel quelconque, ce qui permettrait de conclure une propriété de $x$ valable pour tout $x$. Mais la conclusion écrite ne porte plus sur $x$ : elle porte sur la fonction $f$ tout entière, et rien ne justifie le passage de « pour tout $x$, $f(x)\in\{-1,1\}$ » à « $f$ est constante ». C'est le symptôme visible de l'erreur de quantificateurs.
• « L'équation $f(x)^2=1$ admet pour solution $1$ ou $-1$ » : l'inconnue n'est pas nommée (c'est le réel $f(x)$, pas $x$), et la phrase confond l'ensemble des solutions de $t^2=1$, qui est $\{-1,1\}$, avec la disjonction qui porte sur $f(x)$. Il fallait écrire : « donc $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$ ».
• Aucun théorème n'est cité, alors que la conclusion est globale. Passer d'une information point par point à une information sur toutes les valeurs d'une fonction continue appelle un résultat sur les fonctions continues : ici, le théorème des valeurs intermédiaires.

Les pièges pour qui critique.

• Répondre « la réponse est juste » parce que le résultat l'est. La consigne demande si la réponse est exacte et de critiquer la rédaction : une démonstration invalide d'un résultat vrai n'est pas une réponse exacte.
• Se contenter de « la continuité n'est pas utilisée ». C'est un indice, pas une preuve d'erreur : une hypothèse peut être superflue. Ce qui prouve que l'argument est faux, c'est la fonction $g$ : elle satisfait tout ce que l'argument utilise, et contredit sa conclusion.

Recoupement. La fonction $g$ vérifie la première phrase quantifiée — en tout réel, elle vaut $1$ ou $-1$ —, et deux points suffisent à voir qu'elle contredit la seconde : $g(-1)=-1$ exclut « $g$ vaut $1$ partout », $g(0)=1$ exclut « $g$ vaut $-1$ partout ». Ces deux phrases ne sont donc pas équivalentes. La vérification $\big(g(x)\big)^2=1$ est faite par la machine sur des réels des deux signes.

Ce que ça teste. Le théorème des valeurs intermédiaires appliqué avec ses hypothèses exactes (Fonctions d'une variable réelle, section sur les valeurs intermédiaires) et un raisonnement par l'absurde (Raisonnement).

Le théorème, cité avec ses conditions. Soient $a<b$ deux réels et $\varphi$ une fonction continue sur le segment $[a,b]$. Pour tout réel $y$ compris entre $\varphi(a)$ et $\varphi(b)$, il existe $c\in[a,b]$ tel que $\varphi(c)=y$.

La rédaction attendue.

Soit $f$ une fonction définie sur $\mathbb{R}$, à valeurs réelles, continue sur $\mathbb{R}$ et telle que $\big(f(x)\big)^2=1$ pour tout $x\in\mathbb{R}$.

Étape 1 : les valeurs possibles. Soit $x\in\mathbb{R}$. On a $\big(f(x)\big)^2-1=\big(f(x)-1\big)\big(f(x)+1\big)=0$, donc $f(x)=1$ ou $f(x)=-1$. Ainsi $f(x)\in\{-1,1\}$ pour tout réel $x$.

Étape 2 : $f$ prend partout la valeur $f(0)$. Raisonnons par l'absurde et supposons qu'il existe un réel $x_0$ tel que $f(x_0)\neq f(0)$. Alors $x_0\neq0$. Les réels $f(0)$ et $f(x_0)$ sont distincts et appartiennent tous deux à $\{-1,1\}$ : ce sont $-1$ et $1$, dans un certain ordre. Le réel $0$ est donc compris entre $f(0)$ et $f(x_0)$. Posons $a=\min(0,x_0)$ et $b=\max(0,x_0)$ ; comme $x_0\neq0$, on a $a<b$, et $\{f(a),f(b)\}=\{-1,1\}$. La fonction $f$ est continue sur $\mathbb{R}$, donc sur le segment $[a,b]$. D'après le théorème des valeurs intermédiaires, il existe $c\in[a,b]$ tel que $f(c)=0$. Mais alors $\big(f(c)\big)^2=0\neq1$, ce qui contredit l'hypothèse. Par conséquent, pour tout réel $x$, $f(x)=f(0)$.

Conclusion. La fonction $f$ est constante, égale à $f(0)$ ; d'après l'étape 1, $f(0)\in\{-1,1\}$. Donc $f$ est la fonction constante égale à $1$ ou la fonction constante égale à $-1$. Réciproquement, ces deux fonctions vérifient bien les hypothèses : les deux cas se produisent.

Variante sans raisonnement par l'absurde. L'image d'un intervalle par une fonction continue est un intervalle (conséquence du théorème des valeurs intermédiaires). Donc $f(\mathbb{R})$ est un intervalle, non vide, inclus dans $\{-1,1\}$. S'il contenait à la fois $-1$ et $1$, il contiendrait tout le segment $[-1,1]$, donc $0$, qui n'appartient pas à $\{-1,1\}$. Ainsi $f(\mathbb{R})=\{-1\}$ ou $f(\mathbb{R})=\{1\}$ : $f$ est constante.

Les pièges.

• Appliquer le théorème sans dire sur quel segment. Il porte sur une fonction continue sur un segment $[a,b]$ avec $a<b$ : il faut nommer ce segment et justifier $a<b$ (ici parce que $x_0\neq0$). Le recours à $\min$ et $\max$ évite de supposer $x_0>0$ sans le dire ; écrire « quitte à échanger les rôles, on suppose $0<x_0$ » est tout aussi correct, à condition de l'écrire.
• Oublier que le domaine doit être un intervalle. La continuité seule ne suffit pas. Sur $\mathbb{R}^*$, la fonction $x\mapsto\dfrac{x}{\lvert x\rvert}$ est continue, son carré vaut $1$ en tout point, et elle n'est pas constante : elle vaut $-1$ sur $]-\infty,0[$ et $1$ sur $]0,+\infty[$. La démonstration ci-dessus utilise que $\mathbb{R}$ est un intervalle : le segment $[a,b]$ est inclus dans l'ensemble de définition de $f$, ce qui serait faux sur $\mathbb{R}^*$ dès que $a<0<b$.
• Garder la phrase « constante égale à $-1$ ou $1$ » sans en fixer le sens. Après l'étape 2, elle a enfin le bon sens : il existe $k\in\{-1,1\}$ tel que, pour tout réel $x$, $f(x)=k$. Le « il existe $k$ » est placé devant le « pour tout $x$ ».

Recoupement. Les deux contre-exemples montrent que chacune des deux hypothèses sert : sans la continuité (la fonction $g$ de l'entrée précédente) ou sans un domaine d'un seul tenant ($x\mapsto x/\lvert x\rvert$ sur $\mathbb{R}^*$), la conclusion tombe. La démonstration utilise exactement ces deux hypothèses, et rien d'autre que $\big(f(x)\big)^2=1$.

Ce que ça teste. La récurrence correctement formée (Raisonnement), le théorème de la limite monotone et les suites arithmético-géométriques (Réels et suites).

La réponse est-elle exacte ? Non. La suite ne converge pas : ses premiers termes sont $1$, $3$, $7$, $15$, $31$, $63$, et elle tend vers $+\infty$ (démontré dans l'entrée suivante). Deux lignes suffisaient à s'en douter : une suite croissante de premier terme $u_0=1$ ne peut pas converger vers $-1$, puisque la limite d'une suite croissante convergente majore tous ses termes, donc vaut au moins $u_0=1$.

Les erreurs, dans l'ordre de la réponse.

1. La propriété $\mathcal{H}_n$ est mal formée. Dans « $\mathcal{H}_n$ : « pour tout $n\in\mathbb{N}$, $u_n\geq 0$ » », la lettre $n$ est muette : elle est liée par « pour tout ». La proposition $\mathcal{H}_n$ ne dépend donc pas de $n$ — $\mathcal{H}_0$, $\mathcal{H}_1$ et $\mathcal{H}_{57}$ sont une seule et même proposition, celle qu'on veut démontrer. Le $n$ introduit juste avant (« Pour $n\in\mathbb{N}$, on introduit… ») est masqué par celui du « pour tout ». Une récurrence sur une telle propriété ne démontre rien : l'initialisation consisterait à prouver $\mathcal{H}_0$, c'est-à-dire déjà le résultat final, alors que « Comme $u_0=1$ » ne prouve que $u_0\geq0$. Il fallait définir, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $\mathcal{H}_n$ : « $u_n\geqslant0$ ».

2. L'hérédité suppose ce qu'elle doit démontrer. « On suppose $\mathcal{H}_n$ vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ » : c'est la conclusion de la récurrence, pas son hypothèse. Le raisonnement devient circulaire. L'hérédité se rédige pour un entier fixé : « Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{H}_n$ soit vraie ; montrons que $\mathcal{H}_{n+1}$ est vraie. » Le cours de Raisonnement cite précisément cette formulation parmi les erreurs à ne pas commettre.

3. La phrase centrale est inachevée. « on en déduit que $u_{n+1}$, donc $\mathcal{H}_{n+1}$ est vraie » : l'inégalité à démontrer n'est pas écrite. C'est pourtant le seul calcul de l'hérédité. Il fallait : $u_{n+1}=2u_n+1\geqslant2\times0+1=1\geqslant0$. Une phrase qui ne contient pas l'inégalité visée ne la démontre pas.

Le résultat visé, lui, est vrai : pour tout $n$, $u_n\geqslant0$, et même $u_n\geqslant1$. Ce sont la forme de la récurrence et son hérédité qui sont fautives, pas l'énoncé qu'elle cherchait à établir.

4. « Ainsi, elle converge » : l'erreur mathématique décisive. Le calcul de la croissance est juste sous réserve de la positivité : $u_{n+1}-u_n=u_n+1\geq0$ dès que $u_n\geq0$. Cette positivité est vraie ; la réponse ne l'a simplement pas démontrée (points 1 à 3), et une fois qu'elle l'est, la croissance est acquise. Mais « croissante » n'entraîne pas « convergente ». Le théorème de la limite monotone (Réels et suites) dit : une suite croissante et majorée converge ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$. L'hypothèse « majorée » n'est ni énoncée ni vérifiée — et elle est fausse ici. Le contre-exemple le plus simple à l'implication « croissante donc convergente » est la suite $(n)_{n\in\mathbb{N}}$.

5. Le passage à la limite est juste… sous une hypothèse fausse. « Par continuité de $x\mapsto 2x+1$ sur $\mathbb{R}$, $\ell$ vérifie l'équation $\ell=2\ell+1$ » : ce raisonnement est correct si la suite converge vers un réel $\ell$. On passe alors à la limite des deux côtés de $u_{n+1}=2u_n+1$ ; l'unicité de la limite donne $\ell=2\ell+1$, donc $\ell=-1$. Cette étape identifie un candidat — le point fixe de $x\mapsto2x+1$ —, elle ne prouve pas que la suite converge.

6. La conclusion contredit une propriété vraie, que la réponse croyait avoir établie quelques lignes plus haut. La positivité $u_n\geq0$ pour tout $n$ est vraie (elle se démontre correctement : voir l'entrée suivante), même si la réponse ne l'a pas démontrée. Si la suite convergeait vers $\ell$, le passage à la limite dans cette inégalité large donnerait $\ell\geqslant0$, ce qui est incompatible avec $\ell=-1$. Arrivée à une contradiction avec ce qu'elle croyait avoir démontré, la réponse devait s'arrêter : cette contradiction est l'information. Une fois la positivité démontrée correctement, elle prouve, par l'absurde, que la suite ne converge pas.

Pourquoi le point fixe ne peut pas être la limite. Pour $f(x)=2x+1$, on a $f'(-1)=2>1$ : le point fixe $-1$ est répulsif, les termes s'en éloignent. Et pour une suite arithmético-géométrique $u_{n+1}=au_n+b$ avec $a\neq1$, la convergence a lieu si et seulement si $\lvert a\rvert<1$ ou si $u_0$ est égal au point fixe. Ici $a=2$ et $u_0=1\neq-1$ : la suite diverge.

La critique de la rédaction, en plus des erreurs.

• « La suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ est positive » est correct avec la convention française, où « positif » signifie « supérieur ou égal à $0$ » ; écrire « $u_n\geqslant0$ pour tout $n$ » annonce exactement la propriété à démontrer et coupe court à toute lecture « strictement positive ».
• La conclusion de la récurrence, « $\mathcal{H}_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ », répète le « pour tout $n$ » déjà contenu dans $\mathcal{H}_n$ : c'est la même confusion, vue de l'autre côté.
• « Ainsi, elle converge » ne cite aucun théorème : nommer le théorème de la limite monotone aurait obligé à écrire ses hypothèses, et donc à voir celle qui manque.

Les pièges pour qui critique.

• Ne relever que la limite fausse. « La limite ne peut pas être $-1$ » est juste, mais la consigne demande de repérer les erreurs et de critiquer la rédaction : les trois fautes de la récurrence en font partie.
• Croire que la récurrence est fausse sur le fond. L'énoncé qu'elle vise, $u_n\geqslant0$, est vrai ; ce qui est fautif, c'est sa forme. Une bonne critique distingue les deux.

Recoupement. Les premiers termes $1$, $3$, $7$, $15$, $31$, $63$, $127$ sont ceux de la formule $u_n=2^{n+1}-1$ (établie dans l'entrée suivante) ; $u_{10}=2047$, et l'écart entre deux termes consécutifs vaut $u_{n+1}-u_n=2^{n+1}$, qui ne tend pas vers $0$. Avec un premier terme quelconque $u_0$, la même méthode donne $u_n=-1+(u_0+1)\,2^n$ : la suite converge seulement si $u_0=-1$, auquel cas elle est constante égale à $-1$. Cela confirme que $-1$ est bien le point fixe — le calcul de la réponse fournie est juste comme calcul de candidat — et qu'il n'est la limite que dans ce cas dégénéré. Toutes ces valeurs sont certifiées par la machine.

Ce que ça teste. Rédiger une récurrence complète en trois étapes, sur une propriété qui dépend réellement de $n$ (Raisonnement), puis conclure par un théorème de comparaison ; retrouver le résultat par la forme explicite d'une suite arithmético-géométrique (Réels et suites, section sur les suites récurrentes).

La rédaction attendue.

Étape 1 : une minoration, par récurrence. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $\mathcal{H}_n$ la proposition « $u_n\geqslant n+1$ ».

Initialisation. $u_0=1\geqslant0+1$ : $\mathcal{H}_0$ est vraie.

Hérédité. Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{H}_n$ soit vraie, c'est-à-dire $u_n\geqslant n+1$. Alors

la dernière inégalité parce que $(2n+3)-(n+2)=n+1\geqslant1$. Donc $\mathcal{H}_{n+1}$ est vraie.

Conclusion de la récurrence. D'après le principe de récurrence, $\mathcal{H}_n$ est vraie pour tout $n\in\mathbb{N}$ : on a $u_n\geqslant n+1$ pour tout entier naturel $n$.

Étape 2 : la limite. La suite $(n+1)_{n\in\mathbb{N}}$ tend vers $+\infty$ et $u_n\geqslant n+1$ pour tout $n$ ; par le théorème de comparaison (minoration par une suite qui tend vers $+\infty$), $u_n\to+\infty$. En particulier $(u_n)$ n'est pas majorée, alors que toute suite convergente est bornée.

Conclusion : la suite $(u_n)_{n\in\mathbb{N}}$ n'est pas convergente ; elle diverge vers $+\infty$. La seconde question (« Si oui, donner la valeur de sa limite ») est donc sans objet.

Variante : la forme explicite. Le point fixe de $x\mapsto2x+1$ est le réel $\ell$ tel que $\ell=2\ell+1$, soit $\ell=-1$. On pose, pour tout $n\in\mathbb{N}$, $v_n=u_n+1$. Alors

donc $(v_n)$ est géométrique de raison $2$ et de premier terme $v_0=2$ : $v_n=2\times2^n=2^{n+1}$, et

Comme $2>1$, $2^{n+1}\to+\infty$, donc $u_n\to+\infty$. Ici le point fixe sert d'outil de calcul — il fabrique la suite géométrique $(v_n)$ —, et non de limite.

Variante : réparer la réponse fournie. Ses ingrédients sont justes ; c'est leur assemblage qui est faux.

Positivité. Pour tout $n\in\mathbb{N}$, on note $\mathcal{P}_n$ la proposition « $u_n\geqslant0$ ». On a $u_0=1\geqslant0$. Soit $n\in\mathbb{N}$ tel que $\mathcal{P}_n$ soit vraie : alors $u_{n+1}=2u_n+1\geqslant1\geqslant0$, donc $\mathcal{P}_{n+1}$ est vraie. Par récurrence, $u_n\geqslant0$ pour tout $n$.

Croissance. Pour tout $n$, $u_{n+1}-u_n=u_n+1\geqslant1>0$ : la suite est strictement croissante.

Pas de limite finie. Supposons que $(u_n)$ converge vers un réel $\ell$. En passant à la limite dans $u_{n+1}=2u_n+1$ (continuité de $x\mapsto2x+1$), on obtient $\ell=2\ell+1$, soit $\ell=-1$. En passant à la limite dans l'inégalité large $u_n\geqslant0$, on obtient $\ell\geqslant0$. Contradiction : la suite ne converge pas.

Conclusion. D'après le théorème de la limite monotone, une suite croissante et majorée converge ; la suite $(u_n)$, croissante et non convergente, n'est donc pas majorée, et une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.

La contradiction que la réponse fournie avait sous les yeux était donc exactement la démonstration demandée.

Les pièges.

• Un point fixe n'est pas une limite. Résoudre $\ell=2\ell+1$ donne la seule limite possible d'une suite convergente, jamais la convergence elle-même. Ici le point fixe est répulsif : $f'(-1)=2>1$ pour $f(x)=2x+1$.
• Dire « diverge » sans préciser. Une suite divergente peut tendre vers $+\infty$, vers $-\infty$, ou n'avoir aucune limite ; ici on sait mieux, $u_n\to+\infty$, et c'est la réponse la plus informative.
• Rédiger une hérédité sans son calcul. L'hérédité est un calcul : l'inégalité obtenue doit apparaître en entier, avec la justification de chaque comparaison.
• Mettre « pour tout $n$ » dans $\mathcal{H}_n$. La propriété porte sur un entier $n$ ; le « pour tout » n'apparaît qu'à la conclusion de la récurrence.

Recoupement. La formule explicite et la minoration se contrôlent l'une l'autre : $2^{n+1}-1\geqslant n+1$ pour tout $n$, avec égalité pour $n=0$. Premières valeurs : $u_0=1$, $u_1=3$, $u_2=7$, $u_3=15$, $u_4=31$. La suite dépasse $1000$ dès $u_9=1023$ et $10^6$ dès $u_{19}=1\,048\,575$. La relation de récurrence, la formule $u_n=2^{n+1}-1$ et la minoration $u_n\geqslant n+1$ sont certifiées par la machine (symboliquement pour la formule, et sur les soixante premiers termes pour la minoration, qui reste démontrée par la récurrence ci-dessus).

Les cinq leçons mathématiques de la partie.

1. Résoudre une équation, c'est établir une équivalence. Une chaîne d'implications ne fournit que des candidats (analyse) ; il faut vérifier chacun (synthèse), ou n'écrire que des équivalences justifiées. Multiplier une équation par une expression qui peut s'annuler — dans l'exercice 1, par $x-1$ sans le dire — peut créer des solutions parasites.
2. « Pour tout » se distribue sur « et », pas sur « ou ». La phrase « pour tout $x$, $A(x)$ ou $B(x)$ » n'entraîne pas « ($A(x)$ pour tout $x$) ou ($B(x)$ pour tout $x$) » ; de même, $\forall x\,\exists k$ n'entraîne pas $\exists k\,\forall x$. Pour passer d'une information ponctuelle à une information globale sur une fonction continue sur un intervalle, on utilise le théorème des valeurs intermédiaires.
3. Une récurrence se rédige en trois temps, sur une propriété qui dépend de $n$. $\mathcal{H}_n$ ne contient pas « pour tout $n$ » ; l'hérédité fixe un entier $n$ ; son calcul est écrit en entier ; le « pour tout » n'apparaît qu'à la conclusion.
4. Croissante n'est pas convergente. Le théorème de la limite monotone exige une suite croissante et majorée ; une suite croissante non majorée tend vers $+\infty$.
5. Un point fixe est un candidat, pas une limite. Et toute limite candidate se confronte aux inégalités déjà établies : $u_n\geqslant0$ pour tout $n$ interdit la limite $-1$.

Et la méthode de critique, transférable à toute copie.

• Tester la conclusion indépendamment de l'argument : une substitution, quelques termes. C'est rapide, mais cela ne dit pas tout : un contre-exemple suffit à réfuter une conclusion fausse (exercice 1) ; des valeurs numériques peuvent rendre une conclusion suspecte (exercice 3), elles ne prouvent rien ; et une conclusion vraie (exercice 2) ne se confirme que par une démonstration.
• Localiser la première étape fausse et nommer l'erreur : implication lue comme une équivalence, quantificateurs échangés, théorème appliqué sans l'une de ses hypothèses, raisonnement circulaire.
• Chercher l'hypothèse de l'énoncé qui n'a pas servi, puis construire un contre-exemple à l'énoncé privé de cette hypothèse : s'il existe, l'argument est faux.
• Juger séparément la conclusion et la démonstration : l'exercice 2 a une conclusion exacte et aucune démonstration.
• Dire aussi ce qui est juste : dans les exercices 1 et 3, une réponse correcte peut réutiliser les bonnes étapes de la réponse fautive, en corrigeant l'étape qui cède et en y ajoutant ce qui manquait.